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Dato un triangolo con lati $a,b,c$, raggi $r$ e $R$ delle circonferenza inscritta e circoscritta, mostrare che

$ \frac{R}{2r}\ge\frac{a+b+c)}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) $

Ho diviso il problema in due parti:
1) per Chebychev $\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \cdot \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \le \frac{aa^{-1}+bb^{-1}+cc^{-1}}{3}=1$
2) $\displaystyle R\ge 2r$
Allora prendo in considerazione:
$\displaystyle \left(\sqrt{p-a}-\sqrt{p-b}\right)^2\ge 0$
ne consegue facilmente:
$\displaystyle c\ge 2\sqrt{(p-a)(p-b)}$... ripeto poi il procedimento analogamente per b e a. eseguo il prodotto:
$\ abc \ge 8(p-a)(p-b)(p-c)= \frac{8A^2}{p}$
ricavo ordinando:
$\displaystyle R=\frac{abc}{4A}\ge 2\frac{A}{p}=2r$
Dunque ricongiungo le disequazioni finali ricavate da 1 e 2.
QED.

La disuguaglianza $R\ge 2r$ può anche essere facilmente dedotta dalla formula di Eulero, ovvero $OI^2=R(R-2r)\ge0$.

Ido Bovski ha scritto:La disuguaglianza $R\ge 2r$ può anche essere facilmente dedotta dalla formula di Eulero, ovvero $OI^2=R(R-2r)\ge0$.

ero convinto che una formula a riguardo esistesse, ma non sapendo trovarla (e per via delle carenze geometriche), ho dovuto scervellarmi a dimostrarla! XD
grazie mille

petroliopg ha scritto:Ho diviso il problema in due parti:
1) per Chebychev $\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \cdot \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \le \frac{aa^{-1}+bb^{-1}+cc^{-1}}{3}=1$

Scusa, ma dato che le terne sono ordinate in modo opposto, la disuguaglianza di Chebychev non dovrebbe valere al contrario? Infatti sostituendo ad esempio $(a,b,c)=(2,3,4)$ la disuguaglianza diventa $\frac{13}{12}\leq 1$ che è falsa. Inoltre la disuguaglianza opposta credo si dimostri facilmente con AM-HM.

petroliopg ha scritto: 2) $\displaystyle R\ge 2r$

Beh, i punti di tangenza del cerchio inscritto sul lato stanno tra punto medio e piede dell'altezza, quindi il cerchio inscritto è dentro quello di Feuerbach. Quest'ultimo ha raggio R/2, quindi $R/2\geq r$, da cui il risultato.

Inoltre, se qualcuno vuole trovare una soluzione alternativa, potrebbe provare, questo incauto qualcuno, a moltiplicare e dividere a dx per l'area del triangolo.