59. Un'altra disuguaglianza

[Karl Zsigmondy]

Dimostrare che per ogni a, b, c reali positivi vale:
$$ \sum_{cyc}{\frac{a^2}{b^2+c^2}} \geq \sum_{cyc}{\frac{a}{b+c}} $$

[petroliopg]

Mi pare un po' troppo calcolosa come soluzione, ma nulla di difficile... magari c'è un metodo più veloce, ma su per giù non l'ho trovato..
Dunque

$\displaystyle \sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2+c^2} \ge \sum_{cyc} \frac{a}{b+c}$
Da ciò segue che la differenza tra LHS e RHS è maggiore uguale a 0.
valutiamo:
$\displaystyle \frac{a^2}{b^2+c^2} - \frac{a}{b+c}= \frac{a^2c+a^2b-c^2a-b^ca}{(b^2+c^2)(b+c)}= \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}$
Ora simmetricamente si sviluppano le altre due coppie
notiamo che abbiamo una disequazione di questo tipo:
$\displaystyle \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{bc(b-c)+ba(b-a)}{(a^2+c^2)(a+c)}+\frac{ac(c-a)+cb(c-b)}{(b^2+a^2)(b+a)}= \sum_{cyc} ab(a-b)\cdot \left(\frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{1}{(a+c)(a^2+c^2)}\right)$

sviluppando dentro le parentesi otteniamo al numeratore:
$\displaystyle a^3+a^2c+ac^2+c^3-b^3-b^2c-bc^2-c^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)+c(a+b)(a-b)+c^2(a-b)= \frac{a-b}{2}\cdot \sum_{cyc} (a+b)^2$
Otteniamo dunque
$\displaystyle \sum_{cyc} ab(a-b)\cdot \left(\frac{(a-b)\cdot \sum_{cyc} (a+b)^2}{2(b^2+c^2)(b+c)(a^2+c^2)(a+c)}\right)= \sum_{cyc} ab(a-b)^2\cdot \left(\frac{\sum_{cyc} (a+b)^2}{2(b^2+c^2)(b+c)(a^2+c^2)(a+c)}\right)\ge 0$

[Karl Zsigmondy]

Esatto, questa era veramente calcolosa, anche la mia soluzione era così, ma spero vivamente dentro di me che ce ne sia una "bella"... comunque vai pure col prossimo!

[petroliopg]

per mancanza di tempo ti cedo il mio turno.

ps. quel $\displaystyle b^2+c^2$ sembrava messo li apposta per richiamare $\displaystyle (b+c)^2>b^2+c^2$... ed invece nulla, veniva qualcosa di non sempre vero lol

[jordan]

per mancanza di tempo ti cedo il mio turno.

Visto che nessuno dei due posto il nuovo, chi la fa al posto loro?

[petroliopg]

boh, fallo tu se ti va
posso estendere la rinuncia a tutti quelli che hanno tempo di controllare e qualcosa di interessante da proporre

saluti