58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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kalu
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58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$

Messaggio da kalu » 09 ott 2012, 17:41

Dimostrare che: $$\displaystyle \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{2}$$ per ogni terna $ (a, b, c) $ di reali positivi.
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Karl Zsigmondy
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Re: 58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$

Messaggio da Karl Zsigmondy » 09 ott 2012, 18:13

Applico Cauchy-Schwarz alle terne:
$$ ( \frac{a}{\sqrt{a+b}}, \frac{b}{\sqrt{b+c}}, \frac{c}{\sqrt{c+a}}) \ ; \ ( \sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}) $$
E ottengo che:
$$\displaystyle (\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a})\cdot 2 \cdot (a+b+c) \geq (a+b+c)^2 $$
$$\displaystyle (\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}) \geq \frac{a+b+c}{2} $$
Che è la tesi.
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Drago96
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Re: 58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$

Messaggio da Drago96 » 09 ott 2012, 18:52

Lemma di Titu

Date due $n$-uple $a_i,b_i$, con i $b_i$ positivi, vale
$$\displaystyle\sum\frac{a_i^2}{b_i}\ge\frac{\left(\sum a_i\right)^2}{\sum b_i}$$

Che poi in realtà non è nient'altro che una forma di C-S per le frazioni...
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kalu
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Re: 58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$

Messaggio da kalu » 09 ott 2012, 20:31

Ok, era facile :lol:
A te Karl Zsigmondy :)
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