Vorrei, in questo thread, postare un po' di esercizi che vogliono arrivare alla formula delle successioni per ricorrenza, senza però calarla dal cielo.
1. Data una successione per ricorrenza
$$x_n=a x_{n-1}+bx_{n-2}+c$$
(con qualche dato iniziale che per ora non ci interessa) possiamo rappresentarla come una successione per ricorrenza in 2 variabili, ma di passo 1:
$$\left\{\begin{array}{l}x_{n}=ax_{n-1}+by_{n-1}+c\\y_n=x_{n-1}\end{array}\right.$$
1.a Data una successione a 2 variabili
$$\left\{\begin{array}{l}x_{n}=ax_{n-1}+by_{n-1}+c\\y_n=dx_{n-1}+ey_{n-1}+f\end{array}\right.$$
tale che $ae-bd\neq a+e-1$, mostrare che si può sempre "cambiare" variabili, ponendo
$$u_n=hx_n+ky_n+g,\ v_n=lx_n+my_n+i$$
di modo che si abbia
$$\left\{\begin{array}{l}u_{n}=\alpha u_{n-1}+\beta v_{n-1}\\ v_n=\gamma u_{n-1}+\delta v_{n-1}\end{array}\right.$$
ovvero che possiamo eliminare i termini noti.
1.b Capire se è sempre possibile portare una successione in 2 variabili come detto in un sistema come sopra in cui $\delta=0$ (ovvero se ogni successione in 2 variabili viene da una successione di 1 variabile di passo 2).
Fatto questo, seguiranno altri esercizi, fino alla meta
(è roba abbastanza facile, non demoralizzatevi).EDIT: corretto il punto $b$ in $\delta=0$ ed aggiunta una condizione al punto $a$.
non ho mai messo mani sulle successioni per ricorrenza.