Definito il polinomio $p(x):=x^5-x^3+x-2$, mostrare che se $p(y)=0$ per qualche $y$ reale allora $\lfloor y^6 \rfloor =3$
(Nazionali indiane)
La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: 56. La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
Abbiamo $y^5-y^3+y-2=0 \Rightarrow \left(y+\dfrac{1}{y} \right) (y^5-y^3+y-2)=0 \Rightarrow y^6=2y+\dfrac{2}{y}-1$
Ora è sufficiente dimostrare che $4 \le 2y+\dfrac{2}{y}<5$, e ciò accade sicuramente se si ha $1<y<2$
Siccome $p'(x)=5x^4-3x^2+1>0$ $\forall x \in \mathbb{R}$, esiste un'unica soluzione, che è compresa proprio fra $1$ e $2$ in quanto $p(1)$ e $p(2)$ sono discordi
Ora è sufficiente dimostrare che $4 \le 2y+\dfrac{2}{y}<5$, e ciò accade sicuramente se si ha $1<y<2$
Siccome $p'(x)=5x^4-3x^2+1>0$ $\forall x \in \mathbb{R}$, esiste un'unica soluzione, che è compresa proprio fra $1$ e $2$ in quanto $p(1)$ e $p(2)$ sono discordi
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Re: La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
Tutto bene; esiste comunque un'altra strada, seppur simile, che evita l'utilizzo di derivate..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
Non so quanto vi possa aiutare, ma quel polinomio si scompone 
Re: La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
Grande EvaristeG!
\[ p(x)=x^5-x^3+x-2=\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left((x+1)^2(x-1)-1\right) \]
Se $p(y)=0$ allora $q(y):=(y+1)^2(y-1)=1$, ma $q(y)$ e' una cubica con doppia radice $-1$ e terza radice $1$, coefficiente direttivo positivo, i.e. strettamente crescente in $[1,\infty)$, e $q(2)>1$ implica $1<y<2$...
\[ p(x)=x^5-x^3+x-2=\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left((x+1)^2(x-1)-1\right) \]
Se $p(y)=0$ allora $q(y):=(y+1)^2(y-1)=1$, ma $q(y)$ e' una cubica con doppia radice $-1$ e terza radice $1$, coefficiente direttivo positivo, i.e. strettamente crescente in $[1,\infty)$, e $q(2)>1$ implica $1<y<2$...
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Re: La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
domanda niubba (da niubbo che sono). Come hai fatto a fattorizzare (oltre a tirare ad indivinare che forse si fattorizza in $ x^2 \mp x \pm 1 $ moltiplicato qualche altro polinomio ?)
Re: La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
Oh beh, io posso dirti come ho fatto io a "vedere" che si scomponeva:
$$x^5-x^3+x-2=x^3(x^2-1)+(x-1)-1$$
dunque se $x^3=-1$ si ha $x^5-x^3+x-2=-(x^2-1)+(x-1)-1=-x^2+x-1$
e per botta di c**o si ha che $x^2-x+1$ divide $x^3+1$. Questo vuol dire che se $x^3+1=0$, allora $x^3=-1$ e $x^2-x+1=0$. Quindi, se $x^3+1=0$, allora $x^5-x^3+x-2=0$. Questo vuol dire che c'è un fattore comune tra $x^3+1$ e $x^5-x^3+x-2$; il fattore non è $x+1$ e quindi deve essere $x^2-x+1$.
Però, in generale, una volta che sai che DEVE essere scomponibile, sai che deve essere grado 2 per grado 3 (visto che radici razionali quel polinomio non ne ha).
Il grado due deve essere fatto così:
$x^2+ax\pm1$ oppure $x^2+ax\pm2$
e il grado 3 deve essere fatto così
$x^3-ax^2+bx\mp2$ oppure $x^3-ax^2+bx\mp1$
perché la somma delle somme delle radici dei due fattori fa la somma delle radici del prodotto, quindi 0.
A questo punto, c'è un sistema con 2 incognite da svolgere e non è granché.
$$x^5-x^3+x-2=x^3(x^2-1)+(x-1)-1$$
dunque se $x^3=-1$ si ha $x^5-x^3+x-2=-(x^2-1)+(x-1)-1=-x^2+x-1$
e per botta di c**o si ha che $x^2-x+1$ divide $x^3+1$. Questo vuol dire che se $x^3+1=0$, allora $x^3=-1$ e $x^2-x+1=0$. Quindi, se $x^3+1=0$, allora $x^5-x^3+x-2=0$. Questo vuol dire che c'è un fattore comune tra $x^3+1$ e $x^5-x^3+x-2$; il fattore non è $x+1$ e quindi deve essere $x^2-x+1$.
Però, in generale, una volta che sai che DEVE essere scomponibile, sai che deve essere grado 2 per grado 3 (visto che radici razionali quel polinomio non ne ha).
Il grado due deve essere fatto così:
$x^2+ax\pm1$ oppure $x^2+ax\pm2$
e il grado 3 deve essere fatto così
$x^3-ax^2+bx\mp2$ oppure $x^3-ax^2+bx\mp1$
perché la somma delle somme delle radici dei due fattori fa la somma delle radici del prodotto, quindi 0.
A questo punto, c'è un sistema con 2 incognite da svolgere e non è granché.