Irriducibilità su Q

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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AlanG
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Irriducibilità su Q

Messaggio da AlanG » 10 set 2012, 17:54

Per gli amanti dei polinomi , vi propongo un simpatico esercizio :

Dimostrare che il polinomio $f(X)=1+x+x^2+x^3+........+x^{p-1}$ è irriducibile sul campo dei numeri razionali.

hint :
Testo nascosto:
Può esservi utile il Criterio di Eisenstein. ma suppongo che si possa trovare una via alternativa più elementare
Buon esercizio sbatterci la testa ! :wink:

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Drago96
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Re: Irriducibilità su Q

Messaggio da Drago96 » 11 set 2012, 10:09

Uhm, direi che basta anche molto meno: se esistesse una radice razionale $\frac m m$ allora $m\mid1$ e $n\mid 1$ per il teorema delle radici razionali; quindi le radici possono essere $1$ o $-1$, e si vede che nessuna delle due è radici. Quindi non ci sono radici razionali e di conseguenza $p(x)$ è irriducibile.
Oppure, $1+x+x^2+\dots+x^{p-1}=\frac{x^p-1}{x-1}=0$, con $x\neq 1$; stiamo cercando gli $x$ per cui vale $x^p=1$, che vale solo con $x=1$, che avevamo già escluso...

Ah, ovviamente se $p=2$ i ragionamenti sopra sono sballati, ma in questo caso $\deg(p)=1$, quindi è irriducibile...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

AlanG
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Re: Irriducibilità su Q

Messaggio da AlanG » 11 set 2012, 11:07

E qui ti volevo Drago!

:D
Il polinomio è di grado $p$.
Se $p$ fosse di grado due oppure di grado 3 il tuo ragionamento non farebbe una piega, ma per $p\>=5$ puoi solo concludere che non si hanno radici in $Q$.
Un polinomio può non avere radici ma essere riducibile .
Esempio : considera il polinomio $x^4+10x^2+24$ a coefficienti interi, su $Q$ tale polinomio non ha radici, tuttavia...
$x^4+10x^2+24=(x^2+4)*(x^2+6)$ è fattorizzabile in $Q[x]$.
Riprovaci,
altro piccolo hint (DA GUARDARE SOLO SE NON SI HANNO IDEE) :
Testo nascosto:
Si potrebbe sostituire $X$ con $X+1$ .
ed Eisenstein

spugna
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Re: Irriducibilità su Q

Messaggio da spugna » 12 set 2012, 22:40

Non vorrei scrivere stupidaggini, ma $f(x)$ non è riducibile per ogni $p$ pari?
Esempio (con $p=4$): $1+x+x^2+x^3=(1+x)(1+x^2)$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

EvaristeG
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Re: Irriducibilità su Q

Messaggio da EvaristeG » 12 set 2012, 23:38

sì, spugna, ma credo che il Nostro intenda con $p$ un numero primo.

AlanG
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Re: Irriducibilità su Q

Messaggio da AlanG » 12 set 2012, 23:53

sono un fesso :D
si ragazzi, $p$ è un primo.

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