polinomio? - SNS2012/4

[ma_go]

$f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ è una funzione che ad ogni coppia di interi associa un numero reale. Per ogni $a$ intero, le due funzioni $x\mapsto f(x,a)$ e $x\mapsto f(a,x)$ sono funzioni polinomiali.
1) Se tutti i gradi dei polinomi di cui si parla nel testo siano minori di 2 è vero che esiste un polinomio $P(x,y)$ che assume gli stessi valori della $f$?
2) Generalizzare al caso in cui i gradi sono limitati da $D$ anziché da 2.
3) È ancora vero senza l'ipotesi sui gradi?
4) Dati $a$, $b$, $c$, $d$ interi, se $f(ak+b,ck+d)$ è un polinomio in $k$ di grado al massimo $D$ per ogni $a$, $b$, $c$, $d$ interi, cosa si può dedurre su $f(x,y)$?

[Robertopphneimer]

$f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ è una funzione che ad ogni coppia di interi associa un numero reale. Per ogni $a$ intero, le due funzioni $x\mapsto f(x,a)$ e $x\mapsto f(a,x)$ sono funzioni polinomiali.
1) Se tutti i gradi dei polinomi di cui si parla nel testo siano minori di 2 è vero che esiste un polinomio $P(x,y)$ che assume gli stessi valori della $f$?
2) Generalizzare al caso in cui i gradi sono limitati da $D$ anziché da 2.
3) È ancora vero senza l'ipotesi sui gradi?
4) Dati $a$, $b$, $c$, $d$ interi, se $f(ak+b,ck+d)$ è un polinomio in $k$ di grado al massimo $D$ per ogni $a$, $b$, $c$, $d$ interi, cosa si può dedurre su $f(x,y)$?

questo ha menato forte un pò a tutti...dicono che nessuno abbia tentato di risolvere il punto c

[TBPL]

Per chi volesse, il punto 3:

Testo nascosto:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {\left(\prod_{i=-n}^n {(x-i)(y-i)}\right)}$

Attenzione: dopo averla scritta e aver controllato che soddisfa le ipotesi, bisogna comunque dimostrare che non è una funzione polinomiale.

[loribere]

Scusate se riesumo un post vecchio, ma non riesco a trovare da nessuna parte (ne sul forum ne altrove) lo svolgimento di questo problema e non capisco come attaccarlo,qualcuno in quell'occasione lo aveva risolto?

[_Ipazia_]

Io per il primo punto ho provato a scrivere i due polinomi come $ P_1(x)=a_1 x + b_1 $ ecc.. e da qui ho trovato una certa $f$.. ma ci devo pensare non so se debba essere per forza così quindi evito di scrivere

[Lasker]

Un tentativo per i primi due punti, non so se scritto (e pensato) correttamente (devo dire che l'esercizio non mi ha entusiasmato e l'ho trovato abbastanza complicato nella mia scarsezza)

(a) Definiamo tre funzioni $r_0(y), r_1(y), r_2(y)$ da $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{R}$ tali che si ha
$$(1)\ \ \ f(x,y)=r_0(y)+r_1(y)x+r_2(y)x^2 \ \ \ \forall\ y\in\mathbb{Z}$$
In questo modo abbiamo tradotto in maniera trattabile la condizione che fissato $y$ la $f(x,y)$ sia una quadratica in $x$.
Consideriamo ora
$$f'(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y)=[r_0(y)+r_1(y)(x+1)+r_2(y)(x+1)^2]-[r_0(y)+r_1(y)x+r_2(y)x^2]$$
Svolgendo i conti si ottiene
$$(2)\ \ \ f'(x,y)=r_1(y)+r_2(y)+2xr_2(y)$$
E adesso andiamo ancora avanti definendo analogamente $f''(x,y)$ si ottiene dunque
$$(3)\ \ \ f''(x,y)=f'(x+1,y)-f'(x,y)=[r_1(y)+r_2(y)+2(x+1)r_2(y)]-[r_1(y)+r_2(y)+2xr_2(y)]=2r_2(y)\ \ \forall\ x,y\in\mathbb{Z^2}$$
Quindi $f''(x,y)=r_2(y)$ che è indipendente da $x$; ma fissato $x=x_0\in\mathbb{Z}$ si ha che $f(x_0,y)$ è un polinomio al massimo di secondo grado in $y$ per ipotesi, da cui per ogni scelta di $x_0$ si ha che $f'(x_0,y)$ è differenza di polinomi in $y$ di grado $\leq 2$, quindi è anch'esso un polinomio in $y$ di grado $\leq 2$, ed esattamente allo stesso modo si procede per $f''(x_0,y)$, trovando che è un polinomio di grado $\leq 2$ in $y$, che però (per quanto affermato prima) non dipende da $x$, e dunque deve essere un polinomio solo in $y$ di grado al massimo $2$.
Ma allora guardando la $(3)$ anche $r_2(y)$ è un polinomio in $y$ di grado al massimo $2$ (in quanto coincide in ogni punto del dominio con un polinomio in $y$ di grado al massimo $2$), e quindi dalla $(2)$ si ha che $r_1(y)$ è somma di polinomi in $y$ di grado al massimo $2$ e lo è dunque a sua volta, infine dalla $(1)$ esattamente allo stesso modo si deduce che $r_0(y)$ è un polinomio di grado $2$ in $y$. Ma allora ci basta riguardare la $(1)$ e notare che abbiamo
$$f(x,y)=p_0(y)+p_1(y)x+p_2(y)x^2, \ \ \textrm{con $p$ polinomio di grado $\leq 2$}$$
Che è la tesi (anche se in effetti il problema è abbastanza strano e non sono per nulla sicuro di avere una "vera" dimostrazione che non si morda la coda ).

(b) Per questo si dovrebbe fare allo stesso modo, solo che al posto di $2$ mettiamo $D$ e le $f$ apostrofate aumentano (in generale potrebbe essere utile formalizzare con il fatto che $\Delta P(x):=P(x+1)-P(x)$ ha grado $\leq \deg(P)-1$, il fatterello noto sulle differenze finite che viene semplicemente sostituendo).