polinomio? - SNS2012/4

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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ma_go
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polinomio? - SNS2012/4

Messaggio da ma_go » 27 ago 2012, 21:09

$f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ è una funzione che ad ogni coppia di interi associa un numero reale. Per ogni $a$ intero, le due funzioni $x\mapsto f(x,a)$ e $x\mapsto f(a,x)$ sono funzioni polinomiali.
1) Se tutti i gradi dei polinomi di cui si parla nel testo siano minori di 2 è vero che esiste un polinomio $P(x,y)$ che assume gli stessi valori della $f$?
2) Generalizzare al caso in cui i gradi sono limitati da $D$ anziché da 2.
3) È ancora vero senza l'ipotesi sui gradi?
4) Dati $a$, $b$, $c$, $d$ interi, se $f(ak+b,ck+d)$ è un polinomio in $k$ di grado al massimo $D$ per ogni $a$, $b$, $c$, $d$ interi, cosa si può dedurre su $f(x,y)$?

Robertopphneimer
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Re: polinomio? - SNS2012/4

Messaggio da Robertopphneimer » 28 ago 2012, 00:06

ma_go ha scritto:$f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ è una funzione che ad ogni coppia di interi associa un numero reale. Per ogni $a$ intero, le due funzioni $x\mapsto f(x,a)$ e $x\mapsto f(a,x)$ sono funzioni polinomiali.
1) Se tutti i gradi dei polinomi di cui si parla nel testo siano minori di 2 è vero che esiste un polinomio $P(x,y)$ che assume gli stessi valori della $f$?
2) Generalizzare al caso in cui i gradi sono limitati da $D$ anziché da 2.
3) È ancora vero senza l'ipotesi sui gradi?
4) Dati $a$, $b$, $c$, $d$ interi, se $f(ak+b,ck+d)$ è un polinomio in $k$ di grado al massimo $D$ per ogni $a$, $b$, $c$, $d$ interi, cosa si può dedurre su $f(x,y)$?
questo ha menato forte un pò a tutti...dicono che nessuno abbia tentato di risolvere il punto c
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
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TBPL
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Re: polinomio? - SNS2012/4

Messaggio da TBPL » 28 ago 2012, 17:55

Per chi volesse, il punto 3:
Testo nascosto:
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {\left(\prod_{i=-n}^n {(x-i)(y-i)}\right)}$

Attenzione: dopo averla scritta e aver controllato che soddisfa le ipotesi, bisogna comunque dimostrare che non è una funzione polinomiale.

loribere
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Re: polinomio? - SNS2012/4

Messaggio da loribere » 21 mag 2015, 13:46

Scusate se riesumo un post vecchio, ma non riesco a trovare da nessuna parte (ne sul forum ne altrove) lo svolgimento di questo problema e non capisco come attaccarlo,qualcuno in quell'occasione lo aveva risolto?

_Ipazia_
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Re: polinomio? - SNS2012/4

Messaggio da _Ipazia_ » 21 mag 2015, 14:41

Io per il primo punto ho provato a scrivere i due polinomi come $ P_1(x)=a_1 x + b_1 $ ecc.. e da qui ho trovato una certa $f$.. ma ci devo pensare non so se debba essere per forza così quindi evito di scrivere :lol:
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Lasker
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Re: polinomio? - SNS2012/4

Messaggio da Lasker » 22 lug 2015, 21:34

Un tentativo per i primi due punti, non so se scritto (e pensato) correttamente (devo dire che l'esercizio non mi ha entusiasmato e l'ho trovato abbastanza complicato nella mia scarsezza)

(a) Definiamo tre funzioni $r_0(y), r_1(y), r_2(y)$ da $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{R}$ tali che si ha
$$(1)\ \ \ f(x,y)=r_0(y)+r_1(y)x+r_2(y)x^2 \ \ \ \forall\ y\in\mathbb{Z}$$
In questo modo abbiamo tradotto in maniera trattabile la condizione che fissato $y$ la $f(x,y)$ sia una quadratica in $x$.
Consideriamo ora
$$f'(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y)=[r_0(y)+r_1(y)(x+1)+r_2(y)(x+1)^2]-[r_0(y)+r_1(y)x+r_2(y)x^2]$$
Svolgendo i conti si ottiene
$$(2)\ \ \ f'(x,y)=r_1(y)+r_2(y)+2xr_2(y)$$
E adesso andiamo ancora avanti definendo analogamente $f''(x,y)$ si ottiene dunque
$$(3)\ \ \ f''(x,y)=f'(x+1,y)-f'(x,y)=[r_1(y)+r_2(y)+2(x+1)r_2(y)]-[r_1(y)+r_2(y)+2xr_2(y)]=2r_2(y)\ \ \forall\ x,y\in\mathbb{Z^2}$$
Quindi $f''(x,y)=r_2(y)$ che è indipendente da $x$; ma fissato $x=x_0\in\mathbb{Z}$ si ha che $f(x_0,y)$ è un polinomio al massimo di secondo grado in $y$ per ipotesi, da cui per ogni scelta di $x_0$ si ha che $f'(x_0,y)$ è differenza di polinomi in $y$ di grado $\leq 2$, quindi è anch'esso un polinomio in $y$ di grado $\leq 2$, ed esattamente allo stesso modo si procede per $f''(x_0,y)$, trovando che è un polinomio di grado $\leq 2$ in $y$, che però (per quanto affermato prima) non dipende da $x$, e dunque deve essere un polinomio solo in $y$ di grado al massimo $2$.
Ma allora guardando la $(3)$ anche $r_2(y)$ è un polinomio in $y$ di grado al massimo $2$ (in quanto coincide in ogni punto del dominio con un polinomio in $y$ di grado al massimo $2$), e quindi dalla $(2)$ si ha che $r_1(y)$ è somma di polinomi in $y$ di grado al massimo $2$ e lo è dunque a sua volta, infine dalla $(1)$ esattamente allo stesso modo si deduce che $r_0(y)$ è un polinomio di grado $2$ in $y$. Ma allora ci basta riguardare la $(1)$ e notare che abbiamo
$$f(x,y)=p_0(y)+p_1(y)x+p_2(y)x^2, \ \ \textrm{con $p$ polinomio di grado $\leq 2$}$$
Che è la tesi (anche se in effetti il problema è abbastanza strano e non sono per nulla sicuro di avere una "vera" dimostrazione che non si morda la coda :roll: ).

(b) Per questo si dovrebbe fare allo stesso modo, solo che al posto di $2$ mettiamo $D$ e le $f$ apostrofate aumentano (in generale potrebbe essere utile formalizzare con il fatto che $\Delta P(x):=P(x+1)-P(x)$ ha grado $\leq \deg(P)-1$, il fatterello noto sulle differenze finite che viene semplicemente sostituendo).
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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