Disuguaglianza
- petroliopg
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Disuguaglianza
Siano $\displaystyle a,b,c>-1$ EDIT: $\displaystyle a,b,c \in \mathbb{R}$
Dimostrare:
$\displaystyle \frac{1 + a^2}{1 + b + c^2} + \frac{1 + b^2}{1 + c + a^2} + \frac{1 + c^2}{1 + a+ b^2} \geq 2$
Mi pareva simpatica
Dimostrare:
$\displaystyle \frac{1 + a^2}{1 + b + c^2} + \frac{1 + b^2}{1 + c + a^2} + \frac{1 + c^2}{1 + a+ b^2} \geq 2$
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Ultima modifica di petroliopg il 07 ago 2012, 17:21, modificato 1 volta in totale.
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Re: Disuguaglianza
sde vale per $ n_0=0 $ poi per induzione vale anche (per induzione) per $ n_0+1 $ e quindi per tutti gli interi positivi e 0
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Re: Disuguaglianza
ho editato visto che mi sono scordato di mettere a,b,c reali...
emh comunque non ho capito dove l'hai tirata fuori l'induzione in ogni caso...
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Re: Disuguaglianza
ah ecco no vabè è un induzione banale se tutta quella cosa è maggiore di 2 allora tutta quella cosa è +1 è maggiore di 3
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Re: Disuguaglianza
Ah ecco qui si fa più divertentepetroliopg ha scritto:ho editato visto che mi sono scordato di mettere a,b,c reali...
emh comunque non ho capito dove l'hai tirata fuori l'induzione in ogni caso...
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Re: Disuguaglianza
diciamo che a occhio posso are queste deduzioni, per a,b,c >0 non è un problema(diciamo stesso ragionamento di prima). Pee evitare di vedere tutte le combinazioni a positivi b negativo etc..
pongo -1<a,b,c <0 vedo che comunque sia il maggiore di 2 c'è perché al denominatore anche con molta differenza tra a,b e c il termine al quadrato si sottrae al termine non al quadrato. Non capisco come dimostrare l'uguale.
pongo -1<a,b,c <0 vedo che comunque sia il maggiore di 2 c'è perché al denominatore anche con molta differenza tra a,b e c il termine al quadrato si sottrae al termine non al quadrato. Non capisco come dimostrare l'uguale.
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Re: Disuguaglianza
Robertopphneimer ha scritto:diciamo che a occhio posso are queste deduzioni, per a,b,c >0 non è un problema(diciamo stesso ragionamento di prima). Pee evitare di vedere tutte le combinazioni a positivi b negativo etc..
pongo -1<a,b,c <0 vedo che comunque sia il maggiore di 2 c'è perché al denominatore anche con molta differenza tra a,b e c il termine al quadrato si sottrae al termine non al quadrato. Non capisco come dimostrare l'uguale.
Senza offesa ma non ho capito assolutamente nulla, riscrivi la dimostrazione per bene e in modo rigoroso
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Re: Disuguaglianza
nono tranquillo non mi offendo,diciamo solo che fino ad ora di certo vorrei lavorare con -1< a,b,c <0 perché se sono positivi e maggiori di 0 ovviamente sussiste la disuguaglianza (spero questo almeno sia comprensibile )
per il reso devo ancora pensare a come lavorarci per a,b,c negativi...ancora non ho nessuna idea in mente ,ho buttato giù due considerazioni ma sono (anche a me ora incomprensibili )
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Re: Disuguaglianza
credo sia proprio quello che chiede di dimostrare...Robertopphneimer ha scritto: perché se sono positivi e maggiori di 0 ovviamente sussiste la disuguaglianza
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Re: Disuguaglianza
ma scusa allora è troppo semplice...la cosa difficile è quando -1<a,b,c<0
perché per valori positivi ovviamente sono tutti valori che si sommano ad 1...e quindi LHS >RHS. Mi spiego meglio se sono tutti interi ok ,invece se sono tutti o solo alcuni frazionari ci sarà sempre la disuguaglianza perché i numeri a,b,c sono presenti in tutte le somme e quindi in qualsiasi caso ci sarà la disuguaglianza.
Per eseguire una dimostrazione rigorosa potrei partire con un * WLOG $ a^2>b+c^2 $ allora il primo addendo è >1
perciò:
$ 1 \le \frac {2+a+c+2b^2+2a^2+a^2c+c^2+c^3+b^4} {1+a+c+ac+b^2+cb^2+a^2b^2+a^2+a^3} $
$ ac +cb^2+a^2b^2+a^3 \le 1+a^2+a^2c+b^2+c^2+c^3+b^4 $
dato che $ a^2>b+c^2 $ Ho provato a svolgerla. riesco a restringere la disuguaglianza fino a pochi termini ma pi non ho i mezzi per continuarla...Avete qualche consiglio sulla tecnica??(non mi viene in mente come poter applicare le medie.
*Edit
perché per valori positivi ovviamente sono tutti valori che si sommano ad 1...e quindi LHS >RHS. Mi spiego meglio se sono tutti interi ok ,invece se sono tutti o solo alcuni frazionari ci sarà sempre la disuguaglianza perché i numeri a,b,c sono presenti in tutte le somme e quindi in qualsiasi caso ci sarà la disuguaglianza.
Per eseguire una dimostrazione rigorosa potrei partire con un * WLOG $ a^2>b+c^2 $ allora il primo addendo è >1
perciò:
$ 1 \le \frac {2+a+c+2b^2+2a^2+a^2c+c^2+c^3+b^4} {1+a+c+ac+b^2+cb^2+a^2b^2+a^2+a^3} $
$ ac +cb^2+a^2b^2+a^3 \le 1+a^2+a^2c+b^2+c^2+c^3+b^4 $
dato che $ a^2>b+c^2 $ Ho provato a svolgerla. riesco a restringere la disuguaglianza fino a pochi termini ma pi non ho i mezzi per continuarla...Avete qualche consiglio sulla tecnica??(non mi viene in mente come poter applicare le medie.
*Edit
Ultima modifica di Robertopphneimer il 08 ago 2012, 12:40, modificato 5 volte in totale.
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Re: Disuguaglianza
"a occhio" molti ragionamenti sono giusti. Ora non è per cattiveria, prendilo più come un consiglio visto che dovrai tentare una test parecchio difficile a breve: se uno dei correttori leggesse qualcosa di simile, credo, a esser franco, scoppierebbe a ridere. Meno parole e più formule (giuste ovviamente). Se vuoi dimostrarlo per casi specifici, beh, accomodati, ci sono infiniti numeri da tentare.
La formalità non è tutto, ma è ciò che rende il ragionamento apprezzabile al lettore. Ogni strumento che usi va motivato, anche il più banale, richiamando una dimostrazione, un nome noto, o ridimostrandola, purchè venga chiarito alla lettura il suo perché.
In questo caso, se è chiaro ed evidente, rendi ciò "visibile" ad un terzo.
PS. inoltre è proprio la formalità che rende la matematica un linguaggio universale. Immagina il lettore fosse tedesco o cinese: come gli spiegheresti il ragionamento in modo che egli ti comprenda? è un esempio banale, ma rende l'idea della potenza del linguaggio matematico...
La formalità non è tutto, ma è ciò che rende il ragionamento apprezzabile al lettore. Ogni strumento che usi va motivato, anche il più banale, richiamando una dimostrazione, un nome noto, o ridimostrandola, purchè venga chiarito alla lettura il suo perché.
In questo caso, se è chiaro ed evidente, rendi ciò "visibile" ad un terzo.
PS. inoltre è proprio la formalità che rende la matematica un linguaggio universale. Immagina il lettore fosse tedesco o cinese: come gli spiegheresti il ragionamento in modo che egli ti comprenda? è un esempio banale, ma rende l'idea della potenza del linguaggio matematico...
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Re: Disuguaglianza
ti ho risposto sopra
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Re: Disuguaglianza
petroliopg hai perfettamente ragione!!! è proprio quello che mi ostino a fare io !! però non sempre ci riesco...bisogna avere a disposizione molto tempo per prendere familiarità col linguaggio rigoroso e formale della matematica..è una sorta di "labor limae" (concedetemi il latinismo) ma per chi ha cominciato da "poco " è un pò ardua la cosa ..ma non impossibile!! scusate l'OT ma volevo evidenziare quello che avevi detto perchè sarà di grande aiuto a molti! adesso potete continuare a risolvere questa disuguaglianza a me tanto oscura per il momento XD
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Re: Disuguaglianza
io queste cose le sto studiando da una settimana(ed infatti si vedono i risultati scarsi)....da quel che ne so anche petroliopg sta studiando da poco...tu che puoi prepararti fallo!! vedrai basta esperienza
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Re: Disuguaglianza
quello che intendevo dire è che anche io mi ritrovo in condizioni molto simili alle tue (se non peggio) ,l'unica cosa che ho potuto mettere di mio sin dall'inizio dei miei studi matti è disperatissimi è stata la passione per queste scienze..spero che la fatica dia risultati!! ma è difficilissimo assimilare così tante cose in poco tempo! ma ciò non ci deve fare scoraggiare nè a me nè a te ! dobbiamo avere il CORAGGIO di utilizzare il nostro intelletto! sono sicuro che riusciremo ad ottenere le nostre soddisfazioni