Dimostrazione con polinomi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gneo
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Dimostrazione con polinomi

Messaggio da Gneo » 03 ago 2012, 10:24

"Non esiste nessun polinomio monico di grado 3 con 3 radici intere distinte che valga 3 in due interi distinti."
Sono arrivato a dimostrare il fatto delle tre radici usando il teorema di Ruffini qualcuno mi potrebbe aiutare a dimostrare l'ultima parte?

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auron95
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Re: Dimostrazione con polinomi

Messaggio da auron95 » 03 ago 2012, 12:30

Sia $ p(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\ \gamma>\beta>\alpha,\ \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Z} $.

Devi dimostrare che non esistono due valori interi di x per cui il prodotto $ (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $ è 3.

Se devi scomporre 3 in tre fattori interi, quei tre fattori (dato che 3 è primo), in valore assoluto saranno 3,1,1 (a meno dell'ordine).
Siccome i fattori sono tutti diversi (le radici sono distinte), allora i due fattori 1 avranno segno opposto. Quindi il 3 sarà negativo (il prodotto è positivo).

I tre fattori sono -3,-1,1. Siccome $ x-\gamma<x-\beta<x-\alpha $ allora puoi uguagliare ciascun fattore di 3 al corrispondente fattore del polinomio. Il sistema
$ \left\{ \begin{array}{l}x-\alpha=1\\x-\beta=-1\\x-\gamma=-3\end{array} \right. $
ha ovviamente al massimo una soluzione.
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Gneo
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Re: Dimostrazione con polinomi

Messaggio da Gneo » 03 ago 2012, 14:41

La soluzione, in pratica, era un semplice sistema lineare. Hannon le, mellon!

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