Sistemi con i resti

[Robertopphneimer]

Trova tutti i numeri tali che:

$ x \equiv 2mod7 $
$ x \equiv 4mod8 $
$ 7x \equiv 2mod8 $
$ 2x \equiv 1mod4 $

$ \left\{\begin{matrix} x \equiv 2mod7 \\ x \equiv 4mod8 \end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix} x \equiv 2mod8 \\ x \equiv 1mod4 \end{matrix}\right. $

non so bene come risolverli..sugli archivi delle olimpiadi non ho capito bene..Qualcuno me lo spiegherebbe passo passo postando la soluzione?

[ant.py]

Trova tutti i numeri tali che:

$ x \equiv 2mod7 $
$ x \equiv 4mod8 $
$ 7x \equiv 2mod8 $
$ 2x \equiv 1mod4 $

$ \left\{\begin{matrix} x \equiv 2mod7 \\ x \equiv 4mod8 \end{matrix}\right. $

$ \left\{\begin{matrix} x \equiv 2mod8 \\ x \equiv 1mod4 \end{matrix}\right. $

non so bene come risolverli..sugli archivi delle olimpiadi non ho capito bene..Qualcuno me lo spiegherebbe passo passo postando la soluzione?

Beh per il primo concentrati sui due mod 8: moltiplica per 7 uno dei due e arriverai a una contraddizione
Anche l'ultimo è facile, la prima condizione dice che x è pari e la seconda che x è dispari

L'unico che mi sembra avere soluzione è il secondo, ma ora vado di fretta e lascio a qualcun altro la risoluzione

[Robertopphneimer]

quindi se abbiamo mod e un nuero pari posso distinguere pari e dispari nel sistema??Inoltre..in che senso moltiplica per 7??(intendi la x??)

[ant.py]

Per l'ultimo sistema: la condizione $ x \equiv 2 \pmod 8 $ è come scrivere $ x = 2 + 8j $ , da cui capisci che $ 2 \mid x $
D'altro canto, l'altra condizione implica $ x = 1 + 4k $, da cui capisci che 2 non divide x, da cui il sistema è impossibile

Per il primo, hai due condizioni in particolare:

$ x \equiv 4 \pmod 8 $
$ 7x \equiv 2 \pmod 8 $

Se moltiplichi per 7 entrambi i lati di una qualsiasi delle condizioni (metti per esempio la prima) hai

$ 7x \equiv 4 \pmod 8 $ cosa che è in chiara contraddizione con l'altra condizione

[Robertopphneimer]

Perfetto per il primo..
per il secondo se moltiplichi per entrambi i membri non dovresti avere $ 7x \equiv 7(4(mod8))?? $(scusa ancora non sono il massimo...)
inoltre io pens che la prima congruenza dimostra $ 4|x $ e perciò anche l'altro dovrebbe essere divisibile per 4 ma $ 7x \equiv 2(1+4j) $ e quindi non possiamo esserne certi...

[ant.py]

Perfetto per il primo..
per il secondo se moltiplichi per entrambi i membri non dovresti avere $ 7x \equiv 7(4(mod8))?? $(scusa ancora non sono il massimo...)
inoltre io pens che la prima congruenza dimostra $ 4|x $ e perciò anche l'altro dovrebbe essere divisibile per 4 ma $ 7x \equiv 2(1+4j) $ e quindi non possiamo esserne certi...

Che senso ha la prima scrittura? Semplicemente $ 7 \cdot 4 = 28 \equiv 4 \pmod 8 $
Per l'altra osservazione, è questo che moltiplichiamo per 7!

[Robertopphneimer]

ah è congruente....quindi diviso per 8 da resto 4 perciò vale solo per x=4 ed ogni multiplo di 4..sbaglio?

[auron95]

Se non sbaglio questa è la soluzione del secondo sistema:

Testo nascosto:

Tutti i numeri della forma $ x= 56k+44 $

[Robertopphneimer]

penso sia giusto poichè li rendi divisibili per 7 e per 2 (resto di 44 mod 7) che è ciò che è rischiesto.