sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da Robertopphneimer » 26 lug 2012, 14:20

Dati tre numeri interi p > 2, q > 2, r > 2 si consideri un parallelepipedo di legno tale che i tre spigoli uscenti da un vertice abbiano lunghezza p, q, r. Dopo aver dipinto la superficie esterna del parallelepipedo, questo viene tagliato, mediante sezioni parallele alle facce, in cubetti aventi spigoli di lunghezza 1. Ovviamente alcuni dei cubetti sono parzialmente colorati, mentre altri non sono colorati affatto. Si dimostri che esiste solo un numero finito di terne (p;q;r) per ciascuna delle quali il numero dei cubetti parzialmente colorati e uguale al numero di quelli che non sono colorati affatto.
So che vi sto tempestano ma mi manca sempre quell'ultimo pizzico di generalizzazione e sono sicuro che qualcuno potrebbe aiutarmi in questo.
$ S_p= 2(pr)+2(pq)+2(qr) $

$ V_p=pqr $

Per determinare uguali i cubetti
$ S_p-(V-S_p)=0 $(spero sia giusta :S)

perciò : $ 4(pq+pr+qr)-pqr=0 $

ho iniziato con i casi speciali e non con il generale.

Se $ p=q=r=x $

$ 4(3x^2)-x^3=0 $
$ x=12 $

se due dei tre interi sono uguali ,cioè$ p=q=x ,q=r=x,p=r=x $

$ 4(x^2+2xr)-x^2r $

$ x=\frac{2r}{3} $ e cioè che $ r>2,r\mid 3 $

Non riesco a trovare la generale!!! cioè per $ p \ne\ q \ne\ r $
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"

Avatar utente
petroliopg
Messaggi: 96
Iscritto il: 17 giu 2012, 17:31

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da petroliopg » 26 lug 2012, 15:40

Mi sembra che contando le superfici alcuni cubi si ripetano..
io ho fatto così.
$\displaystyle V_t=pqr$ il volume totale. Il volume del parallelepipedo interno è $\displaystyle V_p=(p-2)(q-2)(r-2)$ ricordando che $\displaystyle p,q,r>2$ Si tolgono due perché sono uno per parte.
Allora i cubi della superficie sono $\displaystyle V_t-V_p$
Allora ho
$\displaystyle V_t-V_p=V_p$ cioè $\displaystyle pqr=2(p-2)(q-2)(r-2)$
Ora io direi di scrivere in questo modo: $\displaystyle \frac {1}{2}= \frac {p-2}{p} \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
WLOG $\displaystyle r \ge q \ge p$ allora
$\displaystyle \left( \frac {p-2}{p} \right)^3 \le \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p}$ da cui segue che $\displaystyle \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p} \le \sqrt[3]{\frac {1}{2}}$
quindi i valori di p sono fissati.
Dunque consideriamo fissato p: allora $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)}= \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
Dunque visto che p è fissato lo trattiamo come una costante. Allora ricordando $\displaystyle r \ge q \ge p$, $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)} < \frac {q-2}{q} \le \sqrt{ \frac {p}{2(p-2)}} <1$
Quindi se la scelta di p è limitata anche la scelta di q è limitata. Fissati p e q al massimo c'è un valore di r che si può scegliere.
$\displaystyle QED$
Sensi non ho; né senso. Non ho limite.
Montale

$ \displaystyle i \hbar \dot {\psi} = \hat{H} \psi $

Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da Robertopphneimer » 26 lug 2012, 16:00

Si capito quasi tutto..l'unica cosa è il Wlog che non capisco è un'ipotesi che hai messo tu?
Inoltre non capisco come hai determinato la disequazione successiva,cioè se p=q=r perché poi p-2 elevato alla terza etc dev'essere minore di 1/2? ed 1/2 è a sua volta minore di p-2/p??Da cosa lo deduci?
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"

Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da Robertopphneimer » 26 lug 2012, 16:04

Si comunque con il mio metodo è come se usassi due grandezze con unità di misura differenti èpoiché la superficie è in $ m^2 $ mentre il volume in $ m^3 $
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"

frod93
Messaggi: 42
Iscritto il: 17 lug 2012, 21:32
Località: Perugia

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da frod93 » 26 lug 2012, 16:43

Robertopphneimer ha scritto:Si capito quasi tutto..l'unica cosa è il Wlog che non capisco è un'ipotesi che hai messo tu?
WLOG = "without loss of generality" = senza perdita di generalità = un'ipotesi che aggiungi per semplificarti la vita che non cambia la generalità del problema. in quel caso è ordinare le variabili dicendo qual è la più grande e quale la più piccola: non cambia la generalità in quanto puoi scambiare le variabili tra loro mantenendo inalterata l'equazione.
$Q.E.D.$

Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da Robertopphneimer » 26 lug 2012, 19:38

mmmh..!!! capito!!bè si permette di semplificarti la vita
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"

Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da Robertopphneimer » 17 ago 2012, 23:35

petroliopg ha scritto:Mi sembra che contando le superfici alcuni cubi si ripetano..
io ho fatto così.
$\displaystyle V_t=pqr$ il volume totale. Il volume del parallelepipedo interno è $\displaystyle V_p=(p-2)(q-2)(r-2)$ ricordando che $\displaystyle p,q,r>2$ Si tolgono due perché sono uno per parte.
Allora i cubi della superficie sono $\displaystyle V_t-V_p$
Allora ho
$\displaystyle V_t-V_p=V_p$ cioè $\displaystyle pqr=2(p-2)(q-2)(r-2)$
Ora io direi di scrivere in questo modo: $\displaystyle \frac {1}{2}= \frac {p-2}{p} \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
WLOG $\displaystyle r \ge q \ge p$ allora
$\displaystyle \left( \frac {p-2}{p} \right)^3 \le \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p}$ da cui segue che $\displaystyle \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p} \le \sqrt[3]{\frac {1}{2}}$
quindi i valori di p sono fissati.
Dunque consideriamo fissato p: allora $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)}= \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
Dunque visto che p è fissato lo trattiamo come una costante. Allora ricordando $\displaystyle r \ge q \ge p$, $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)} < \frac {q-2}{q} \le \sqrt{ \frac {p}{2(p-2)}} <1$
Quindi se la scelta di p è limitata anche la scelta di q è limitata. Fissati p e q al massimo c'è un valore di r che si può scegliere.
$\displaystyle QED$
Riguardandol non capisco perché Vt-Vp= Vp..all'aumentare di Vp questa non potrebbe essere vera!Cioè non capisco geometricamente come hai fatto).
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"

Avatar utente
petroliopg
Messaggi: 96
Iscritto il: 17 giu 2012, 17:31

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da petroliopg » 17 ago 2012, 23:43

Non capisco cosa non capisci.
$\ V_t-V_p=V_s$ dove $\ V_s$ è il volume superficiale, ossia i cubi sulla superficie. Non ho scritto $\ V_s$ con questo simbolo, ma a parole
Allora i cubi della superficie sono
$\ V_s=V_p$ è l'uguaglianza che devi dimostrare... è ciò che ti chiede il problema...
Sensi non ho; né senso. Non ho limite.
Montale

$ \displaystyle i \hbar \dot {\psi} = \hat{H} \psi $

Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: sns 93/94 # 3 la vendetta 2

Messaggio da Robertopphneimer » 18 ago 2012, 00:02

si scusami..pensavo che era una cosa che avevi dedotto invece è un'ipotesi per la tua dimostrazione..
comunque misà che hai ragione sulla superficie superficiale in quanto svolgendo i calcoli e ponendo $ Vt-Vp= Vs= S = 2pr+2pq+2rq $ mi viene $ p+q+r=2 $(impossibile)
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"

Rispondi