OliForum Matematico

Viene da un test per la scuola superiore di catania. Non sapevo di fatti dove postarla, se in algebra o in borse di studio. Bah.
Comunque ecco il testo:

$\displaystyle x_0=0, x_k>0 (k=1, . . . ,n)$. $\displaystyle \sum_{i=0}^n x_i=1$ (*) Dimostrare che :
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac {x_k}{{\sqrt{1+ \sum_{i=0}^{k-1} x_i}}\cdot{\sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}} < \frac {\pi}{2}$

Buon divertimento

edit: (*) Errore nel testo dell'esame. Sti deficienti. Corretto
Il problema diventa risolviile e pure facile. Saluti

Posto io la soluzione, anche se non era difficile con l'ultima ipotesi, solo perchè c'ho pensato stanotte per addormentarmi SENZA l'ipotesi aggiuntiva confondendomi all'infinito con un sacco di $S$

Chiamo $\displaystyle \alpha _k = \sum_{i=0}^kx_i$ e $\displaystyle \beta_{k} = \sum_{i=k}^nx_i$. Per ipotesi $\alpha _k +\beta _k = 1$ (e io qui ponendo uguale ad un generico $S$ mi ci perdevo ) E quindi posso scrivere che $\alpha _k ^2 -2\alpha _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$ così come $\beta _k ^2 -2\beta _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$. Da queste ultime due si ottiene che $\displaystyle 2(1+\alpha _k)\beta _k = 2-(\alpha _k ^2 + \beta _k ^2) \leq 2-2\left( \frac{\alpha _k +\beta _k}{2}\right) ^2 = \frac{3}{2}$. Quindi $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}$ da cui $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{k=1}^{n}x_k = \frac{2}{3}\sqrt{3} < \frac{\pi}{2}$

mist mi diresti come sei passato da$ \alpha_k +\beta_k =1 $ a tutta quella roba??
Mi potresti spiegare tutto il tuo ragionamento?

Certo, scusami, sono stato affrettato in effetti.. E c'è anche un errore. Stupido. L'idea era di costruire un polinomio di secondo grado con soluzioni alfa e beta e dire che sostituendo ad x le due soluzioni questi si eguagliano a zero. La mia soluzione è segata perchè mi sono scordato che anzichè dover avere come soluzioni alfa e beta, il polinomio doveva avere soluzioni 1+alfa e beta. Tutto il resto è segato di conseguenza

se non sbaglio c'è un errore anche alla fine? la disuguaglianza finale intendo... ho visto quella prima di iniziare a leggere il resto e sono andato a ritroso cercando di capire se era una svista...

EDIT: mentre ragionavo vedo che avete già risposto

Mist ha scritto:Certo, scusami, sono stato affrettato in effetti.. E c'è anche un errore. Stupido. L'idea era di costruire un polinomio di secondo grado con soluzioni alfa e beta e dire che sostituendo ad x le due soluzioni questi si eguagliano a zero. La mia soluzione è segata perchè mi sono scordato che anzichè dover avere come soluzioni alfa e beta, il polinomio doveva avere soluzioni 1+alfa e beta. Tutto il resto è segato di conseguenza

Dalle soluzioni del polinomio (alpha+1 e beta )poi come saresti passato alla dimostrazione della disuguaglianza??

la disuguaglianza sarebbe QM-AM, ma è tutto segato, tutto tutto, perchè al posto di alfa avrei dovuto sostituire alfa +1 in un passaggio... Scusami, ho fatto solo casino

Mist ha scritto:la disuguaglianza sarebbe QM-AM, ma è tutto segato, tutto tutto, perchè al posto di alfa avrei dovuto sostituire alfa +1 in un passaggio... Scusami, ho fatto solo casino

tranquillo sai quante volte ho fatto casino io

Ci provo io partendo da $ \alpha + \beta =1 $

$ \sum_{i=0}^k x_i $ + $ \sum_{i=k}^n x_i = 1 $

cioè

$ k(k+1)+2k(k+1)= 3k(k+1)=2 $

$ k(k+1)= \frac{2} {3} $

$ \sum_{k=1}^n x_k = \frac {2} {3} $

$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} $

$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} < \frac{\pi}{2 } $

Robertopphneimer ha scritto:$ k(k+1)+2k(k+1)= 3k(k+1)=2 $

Non ho capito dove la tiri fuori questa...

misà che non ho visto bene il pedice ...comunque $ \sum _{i=0}^n i = \frac {n(n+1)}{2} $ l'ho applicato a k....

guarda che quella identità è valida solo per la somma dei primi n naturali...

si infatti avevo inteso x come naturale, tutto segato anche per me.

sbagliato luogo dove postare.... sorry again

Uhm, che senso ha postare un nuovo problema all'interno di un thread dove il problema iniziale non ha ancora avuto soluzione? Meglio forse aprirne uno nuovo.

Btw, la disuguaglianza iniziale è proprio carina, anche se quel pi greco la rende molto "border line" all'interno della sezione di matematica "elementare". Consigliatissima per utenti medio-esperti (la tecnica su cui si basa può tornare utile, anzi è già tornata utile, anche in ambito olimpico). Enjoy