Disequazione catalana
- petroliopg
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Disequazione catalana
Viene da un test per la scuola superiore di catania. Non sapevo di fatti dove postarla, se in algebra o in borse di studio. Bah.
Comunque ecco il testo:
$\displaystyle x_0=0, x_k>0 (k=1, . . . ,n)$. $\displaystyle \sum_{i=0}^n x_i=1$ (*) Dimostrare che :
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac {x_k}{{\sqrt{1+ \sum_{i=0}^{k-1} x_i}}\cdot{\sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}} < \frac {\pi}{2}$
Buon divertimento
edit: (*) Errore nel testo dell'esame. Sti deficienti. Corretto
Il problema diventa risolviile e pure facile. Saluti
Comunque ecco il testo:
$\displaystyle x_0=0, x_k>0 (k=1, . . . ,n)$. $\displaystyle \sum_{i=0}^n x_i=1$ (*) Dimostrare che :
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac {x_k}{{\sqrt{1+ \sum_{i=0}^{k-1} x_i}}\cdot{\sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}} < \frac {\pi}{2}$
Buon divertimento
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Montale
$ \displaystyle i \hbar \dot {\psi} = \hat{H} \psi $
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Re: Disequazione catalana
Posto io la soluzione, anche se non era difficile con l'ultima ipotesi, solo perchè c'ho pensato stanotte per addormentarmi SENZA l'ipotesi aggiuntiva confondendomi all'infinito con un sacco di $S$
Chiamo $\displaystyle \alpha _k = \sum_{i=0}^kx_i$ e $\displaystyle \beta_{k} = \sum_{i=k}^nx_i$. Per ipotesi $\alpha _k +\beta _k = 1$ (e io qui ponendo uguale ad un generico $S$ mi ci perdevo ) E quindi posso scrivere che $\alpha _k ^2 -2\alpha _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$ così come $\beta _k ^2 -2\beta _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$. Da queste ultime due si ottiene che $\displaystyle 2(1+\alpha _k)\beta _k = 2-(\alpha _k ^2 + \beta _k ^2) \leq 2-2\left( \frac{\alpha _k +\beta _k}{2}\right) ^2 = \frac{3}{2}$. Quindi $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}$ da cui $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{k=1}^{n}x_k = \frac{2}{3}\sqrt{3} < \frac{\pi}{2}$
Chiamo $\displaystyle \alpha _k = \sum_{i=0}^kx_i$ e $\displaystyle \beta_{k} = \sum_{i=k}^nx_i$. Per ipotesi $\alpha _k +\beta _k = 1$ (e io qui ponendo uguale ad un generico $S$ mi ci perdevo ) E quindi posso scrivere che $\alpha _k ^2 -2\alpha _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$ così come $\beta _k ^2 -2\beta _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$. Da queste ultime due si ottiene che $\displaystyle 2(1+\alpha _k)\beta _k = 2-(\alpha _k ^2 + \beta _k ^2) \leq 2-2\left( \frac{\alpha _k +\beta _k}{2}\right) ^2 = \frac{3}{2}$. Quindi $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}$ da cui $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{k=1}^{n}x_k = \frac{2}{3}\sqrt{3} < \frac{\pi}{2}$
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"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
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Re: Disequazione catalana
mist mi diresti come sei passato da$ \alpha_k +\beta_k =1 $ a tutta quella roba??
Mi potresti spiegare tutto il tuo ragionamento?
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Re: Disequazione catalana
Certo, scusami, sono stato affrettato in effetti.. E c'è anche un errore. Stupido. L'idea era di costruire un polinomio di secondo grado con soluzioni alfa e beta e dire che sostituendo ad x le due soluzioni questi si eguagliano a zero. La mia soluzione è segata perchè mi sono scordato che anzichè dover avere come soluzioni alfa e beta, il polinomio doveva avere soluzioni 1+alfa e beta. Tutto il resto è segato di conseguenza
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- petroliopg
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Re: Disequazione catalana
se non sbaglio c'è un errore anche alla fine? la disuguaglianza finale intendo... ho visto quella prima di iniziare a leggere il resto e sono andato a ritroso cercando di capire se era una svista...
EDIT: mentre ragionavo vedo che avete già risposto
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Montale
$ \displaystyle i \hbar \dot {\psi} = \hat{H} \psi $
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Re: Disequazione catalana
Dalle soluzioni del polinomio (alpha+1 e beta )poi come saresti passato alla dimostrazione della disuguaglianza??Mist ha scritto:Certo, scusami, sono stato affrettato in effetti.. E c'è anche un errore. Stupido. L'idea era di costruire un polinomio di secondo grado con soluzioni alfa e beta e dire che sostituendo ad x le due soluzioni questi si eguagliano a zero. La mia soluzione è segata perchè mi sono scordato che anzichè dover avere come soluzioni alfa e beta, il polinomio doveva avere soluzioni 1+alfa e beta. Tutto il resto è segato di conseguenza
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Re: Disequazione catalana
la disuguaglianza sarebbe QM-AM, ma è tutto segato, tutto tutto, perchè al posto di alfa avrei dovuto sostituire alfa +1 in un passaggio... Scusami, ho fatto solo casino
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Re: Disequazione catalana
tranquillo sai quante volte ho fatto casino ioMist ha scritto:la disuguaglianza sarebbe QM-AM, ma è tutto segato, tutto tutto, perchè al posto di alfa avrei dovuto sostituire alfa +1 in un passaggio... Scusami, ho fatto solo casino
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Re: Disequazione catalana
Ci provo io partendo da $ \alpha + \beta =1 $
$ \sum_{i=0}^k x_i $ + $ \sum_{i=k}^n x_i = 1 $
cioè
$ k(k+1)+2k(k+1)= 3k(k+1)=2 $
$ k(k+1)= \frac{2} {3} $
$ \sum_{k=1}^n x_k = \frac {2} {3} $
$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} $
$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} < \frac{\pi}{2 } $
$ \sum_{i=0}^k x_i $ + $ \sum_{i=k}^n x_i = 1 $
cioè
$ k(k+1)+2k(k+1)= 3k(k+1)=2 $
$ k(k+1)= \frac{2} {3} $
$ \sum_{k=1}^n x_k = \frac {2} {3} $
$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} $
$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} < \frac{\pi}{2 } $
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Re: Disequazione catalana
Non ho capito dove la tiri fuori questa...Robertopphneimer ha scritto:$ k(k+1)+2k(k+1)= 3k(k+1)=2 $
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Re: Disequazione catalana
misà che non ho visto bene il pedice ...comunque $ \sum _{i=0}^n i = \frac {n(n+1)}{2} $ l'ho applicato a k....
Ultima modifica di Robertopphneimer il 14 ago 2012, 12:08, modificato 2 volte in totale.
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Re: Disequazione catalana
guarda che quella identità è valida solo per la somma dei primi n naturali...
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Re: Disequazione catalana
si infatti avevo inteso x come naturale, tutto segato anche per me.
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- petroliopg
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da eliminare
sbagliato luogo dove postare.... sorry again
Ultima modifica di petroliopg il 13 ago 2012, 13:26, modificato 1 volta in totale.
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Re: Disequazione catalana
Uhm, che senso ha postare un nuovo problema all'interno di un thread dove il problema iniziale non ha ancora avuto soluzione? Meglio forse aprirne uno nuovo.
Btw, la disuguaglianza iniziale è proprio carina, anche se quel pi greco la rende molto "border line" all'interno della sezione di matematica "elementare". Consigliatissima per utenti medio-esperti (la tecnica su cui si basa può tornare utile, anzi è già tornata utile, anche in ambito olimpico). Enjoy
Btw, la disuguaglianza iniziale è proprio carina, anche se quel pi greco la rende molto "border line" all'interno della sezione di matematica "elementare". Consigliatissima per utenti medio-esperti (la tecnica su cui si basa può tornare utile, anzi è già tornata utile, anche in ambito olimpico). Enjoy
Glory is like a circle in the water,
Which never ceaseth to enlarge itself,
Till by broad spreading it disperses to naught.
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