Sns 92/93 part 2

[Robertopphneimer]

Verificare che la somma delle quarte potenze di due numeri reali di
assegnato prodotto $ p>0 $
a) decresce se decresce il valore assoluto della differenza dei due numeri;
b) raggiunge il valore minimo quando i due numeri sono uguali.

[Robertopphneimer]

Altro dilemma(scusate se vi scoccio ma con le successioni e questo tipo di disuguaglianze non so dove mettere le mai..sembrerà banale ma..
Mostrare che, per ogni intero positivo fissato k, esiste almeno un intero n
tale che

$ 100\le n^k+n\le k*n^{k-1}+101 $(ecco fatto modificato )
ad esempio per k=1 mi viene

$ 50+1> n>50 $ sembra ovvio che n non può essere intero...perciò scrivo per ogni intero k maggiore di 1 e vado per induzione?

[Sir Yussen]

Altro dilemma(scusate se vi scoccio ma con le successioni e questo tipo di disuguaglianze non so dove mettere le mai..sembrerà banale ma..
Mostrare che, per ogni intero positivo fissato k, esiste almeno un intero n
tale che

$ 100\le n^k+n\le k*n^{k-1} $
ad esempio per k=1 mi viene

$ 50+1> n>50 $ sembra ovvio che n non può essere intero...perciò scrivo per ogni intero k maggiore di 1 e vado per induzione?

Sicuro di aver scritto bene la traccia? Perchè com'è scritta mi sembra falsa...


Per $k=1$ avresti che
$$ 1 \geq 2n \geq 100 \ \ \Rightarrow 1 \geq 100 $$
assurdo.
Per $k=2$ avresti che
$$ 2n \geq n(n+1) \geq 100$$
che sarebbe vera con $n$ abbastanza negativo.. Però se la traccia chiede per ogni $k$ intero positivo, mi sembra strano che poi $k=1$ non lo prende :S


E la traccia mi sembra strana anche con i segni invertiti:
$$ 100 \geq n^k + n \geq k \cdot n^{k-1} $$
Infatti basterebbe porre $n=0$ per ogni $k$ e amen.. (nel caso di $k$ dispari, inoltre, sarebbe anche l'unica soluzione possibile quando $k \geq 101$ )

Poi magari mi sbaglio io, non so..

[ant.py]

Verificare che la somma delle quarte potenze di due numeri reali di
assegnato prodotto $ p>0 $
a) decresce se decresce il valore assoluto della differenza dei due numeri;
b) raggiunge il valore minimo quando i due numeri sono uguali.

Siano a, b i numeri, WLOG a > b

$ ab = p $
Inoltre si vede che

$ a^4 + b^4 = ( (a + b)^2 -2p)^2 - 2p^2 $

Quindi, essendo p costante, si vede che posso considerare semplicemente a + b
Siano ora $ s = a + b $ e $ d = a - b $
Si ricava facilmente che

$ s = \sqrt{4p + d^2} $
Quindi se diminuisce d allora diminuisce anche s, e quindi anche $ a^4 + b^4 $ che è quello che chiede

Il secondo punto si fa semplicemente con disuguaglianze fra medie, $ M_4 \ge G = \sqrt{p} $ e l'uguaglianza si ha solo se a = b.. Oppure notando che $ d^2 \ge 0 $ quindi il minimo di s si ha per d =0 e quindi a =b

[Robertopphneimer]

ecco l'ho modificato Sir

[Robertopphneimer]

$ a^4 + b^4 = ( (a + b)^2 -2p)^2 - 2p^2 $

sbaglio o hai usato la formula di waring estesa ad un polinomio di grado maggiore al secondo??? io la sapevo applicare solo a quello di grado uguale al secondo cioè:$ a^2+b^2=(a+b)^2-2p $

[Robertopphneimer]

quindi il minimo di s si ha per d =0 e quindi a =b

si capito tutto... anche waring per polinomi di grado n>2
l'unica cosa è...complimenti per le eleganti relazioni somme differenze prodotti che ti hanno portano con AM-GM o anche d minimo alle conlcusioni...
comunque io ho trovato anche una soluzione con analisi...secondo voi è possibile?

[ant.py]

$ a^4 + b^4 = ( (a + b)^2 -2p)^2 - 2p^2 $

sbaglio o hai usato la formula di waring estesa ad un polinomio di grado maggiore al secondo??? io la sapevo applicare solo a quello di grado uguale al secondo cioè:$ a^2+b^2=(a+b)^2-2p $

Ah, non le conoscevo le formule di waring.. Utili!

Per quanto riguarda l'analisi boh, mi sembra davvero complicato farcela.. Magari il secondo punto si, ma il primo lo vedo tosto

[Robertopphneimer]

Sai che neanch'io lo sapevo??si è destreggiato in un maniera elegantissima con i polinomi grazie waring...si in quanto all'analisi la vedo proprio male...

[ale.b]

Un'alternativa più standard per il punto a):

Siano $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ tali che $x_1y_1=x_2y_2=p$ e tali che $|x_1-y_1|<|x_2-y_2|$;
elevando al quadrato ambo i membri di tale disuguaglianza si ha:

$x_1^2+y_1^2-2p=|x_1-y_1|^2<|x_2-y_2|^2=x_2^2+y_2^2-2p$

ovvero $x_1^2+y_1^2<x_2^2+y_2^2$. Elevando nuovamente al quadrato si ottiene allora:

$x_1^4+y_1^4+2p^2<x_2^4+y_2^4+2p^2$

che è equivalente a $x_1^4+y_1^4<x_2^4+y_2^4$ ed è quanto si voleva dimostrare.

[Robertopphneimer]

ant_py come avevi fatto a ricavare il polinomio con $ (a+b)^2 $ da $ a^4+b^4 $senza Waring?? sono curioso!

[ant.py]

Un'alternativa più standard per il punto a):

Siano $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ tali che $x_1y_1=x_2y_2=p$ e tali che $|x_1-y_1|<|x_2-y_2|$;
elevando al quadrato ambo i membri di tale disuguaglianza si ha:

$x_1^2+y_1^2-2p=|x_1-y_1|^2<|x_2-y_2|^2=x_2^2+y_2^2-2p$

ovvero $x_1^2+y_1^2<x_2^2+y_2^2$. Elevando nuovamente al quadrato si ottiene allora:

$x_1^4+y_1^4+2p^2<x_2^4+y_2^4+2p^2$

che è equivalente a $x_1^4+y_1^4<x_2^4+y_2^4$ ed è quanto si voleva dimostrare.

Metodo da ricordare

ant_py come avevi fatto a ricavare il polinomio .. senza Waring?? sono curioso!

Beh l'idea è quella di riscrivere tutto in termini di p, che è costante e non da problemi

Avendo $ a^4 + b^4 $, pensi subito a $ (a^2 + b^2)^2 = a^4 + b ^ 4 + 2a^2b^2 = a^4 + b^4 + 2p^2 $; quindi scrivi

$ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 -2p^2 $

Ora ti viene in mente che puoi fare la stessa cosa con $ a^2 + b^2 $ quindi
$ a^2 + b^2 = (a+b)^2 -2p $ e sostituendo hai la formula

$ a^4 + b^4 = ((a+b)^2 -2p)^2 -2p^2 $

[Robertopphneimer]

hai usato indirettamente waring..complimenti!

Un'alternativa più standard per il punto a):

non capisco bene il ragionamento... dimostrando la disuguaglianza..cosa dimostri?

[ale.b]

Che vuol dire che la funzione $f(x,y):=x^4+y^4$ con prodotto $xy$ fissato decresce se decresce la quantità $|x-y|$?

[Robertopphneimer]

bè quello che hai detto...cioè che la somma delle quarte potenze che da la funzione f(x) decresce con il decrescere della differenza del modulo di x-y...ora però non sono pratico delle equazioni differenziali...altrimenti una bella derivata..e via.