Semplici dubbi...

[simone256]

Anticipo subito che sono nuovo dell'argomento e chiedo scusa in anticipo per eventuali castronerie scritte qua sotto...

Perché se P(x) e Q(x) assumono gli stessi valori per almeno n+1 valori distinti di x (n è il grado di entrambi i polinomi) coincidono? Ma se un polinomio di grado n ha al massimo n soluzioni reali non basterebbe trovare almeno n valori distinti di x che rendono uguali i polinomi per dimostrarne la coincidenza?

Perché se un polinomio P(x) ha una radice x=p/q (frazione ridotta ai minimi termini), q divide il coefficiente della x con esponente massimo? E perché p divide il termine noto?
...

Finora sto studiando questo capitolo di una dispensa ma non l'ho ancora finito... Quindi ho intenzione di aggiornare al più presto questo argomento con nuove domande!
Grazie a tutti in anticipo

[ant.py]

Per la prima domanda:

Un polinomio di grado $ n $ è completamente definito da $ n+1 $ coefficienti ( di grado 1 è $ p_1(x) = ax +b $, di grado 2 è $ p_2(x) = ax^2+bx+ c $ , ecc)

Sia $ p(x) $ un polinomi di grado $ n $
Se sai che $ p(x_0) = t_0 $, hai già una condizione su $ p(x) $; ovvero hai un'equazone lineare con $ n+1 $ termini
Se hai altre n condizioni ( $ p(x_1) = t_1 $, ..., $ p(x_n)=t_n $ ) allora puoi scrivere un sistema di n+1 equazioni in n+1 incognite; come sai se esiste una soluzione a tale sistema, essa è unica, per cui $ p(x) $ risulta determinato. Ecco perchè se $ p(x) $ e $ q(x) $ condividono n+1 valori, devono essere uguali (con solo n valori no, perchè il sistema non è determinato*)

Un altro modo sarebbe quello di prendere $ g(x) = p(x) - q(x) $; $ g(x) $ è un polinomio di grado n, che ha n+1 radici; questo implica che $ g(x) $ sia il polinomio nullo, e quindi $ p(x) - q(x) =0 $ ovvero $ p(x) = q(x) $

*Per esempio due polinomi di grado uno rappresentano due rette, ma tu sai che due rette incidenti si incontrano in un punto (hanno un valore condiviso ) ma sono distinte; in generale passano infinite rette per un punto, da cui hai bisogno di una seconda condizione per determinarne una in particolare

[Drago96]

Perché se un polinomio P(x) ha una radice x=p/q (frazione ridotta ai minimi termini), q divide il coefficiente della x con esponente massimo? E perché p divide il termine noto?

Questo è vero se il polinomio ha coefficienti interi
Difatti possiamo scrivere $\displaystyle a_n\left(\frac p q\right)^n+a_{n-1}\left(\frac p q\right)^{n-1}+\dots+a_1\frac p q+a_0=0$ (1)
Ma se da (1) facciamo il comun denominatore abbiamo $\displaystyle\frac{a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n}{q^n}=0$;
togliendo il denominatore ottieni $a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0$, da cui $a_np^n\equiv 0\pmod q\rightarrow a_n\equiv 0\pmod q$ e $a_0q^n\equiv 0\pmod p\rightarrow a_o\equiv 0\pmod p$

Chiaro?

[simone256]

Ok Drago... Sì, un polinomio con coefficienti interi!
ant.py non potresti mettere un esempio? Non ho capito molto :/

[simone256]

Ho pensato a una cosa che può mettere fine ai miei dubbi... Ditemi se è una cosa priva di senso:
un polinomio di grado n ha n zeri... Però moltiplicando il polinomio per 2 (per esempio) gli zeri rimangono invariati ma il polinomio cambia! Quindi meglio aggiungere un valore da attribuire alla x del polinomio (che ormai ha finito gli zeri) in modo tale che anche raccogliendo il 2 esso andrà a moltiplicare una quantità diversa da zero e quindi il polinomio sarà distinto (da un eventuale polinomio dalla quale non abbiamo moltiplicato e quindi raccolto infine "un 2")!

E' molto contorta la frase! L'ho buttata di getto perché mi è venuta l'idea pensando appunto alle rette nel piano cartesiano e perché è pronta la cena! Grazie infinite per il vostro tempo!

[Alepedra96]

Si, secondo me l'idea è giusta, se moltiplichi per una costante un polinomio, gli zeri sono invariati, ma il polinomio è diverso
Il secondo pezzo non l'ho capito molto, era un po' contorta la frase come hai detto tu

[simone256]

Era per dire che quindi sono necessari n+1 valori per determinare univocamente un polinomio con grado minore o uguale di n... Poichè n valori determinano gli zeri... E il "+1" valore determina per esempio il massimo comun divisore dei coefficienti

2x-2 diverso da x-1
il grado è uguale a 1 quindi per x=1 sono entrambi uguali a 0 ma cambiando la x non lo sono più xD

[ant.py]

Era per dire che quindi sono necessari n+1 valori per determinare univocamente un polinomio con grado minore o uguale di n... Poichè n valori determinano gli zeri... E il "+1" valore determina per esempio il massimo comun divisore dei coefficienti

2x-2 diverso da x-1
il grado è uguale a 1 quindi per x=1 sono entrambi uguali a 0 ma cambiando la x non lo sono più xD

Non so, ho l'impressione che sia un po' confuso.. N valori non determinano gli zeri del polinomio; facciamo un esempio.

Hai un polinomio di grado 1. Sai che passa per il punto (2,3) ( o comunque che $ p(2)=3 $ )

Imponi la prima condizione: $ p(x) = ax +b \Rightarrow 2a + b = 3 $

Hai un equazione lineare di 1 + 1 incognite; non sai altro, non puoi trovare zeri nè niente (per rendertene conto, pensa ancor alle rette; ci sono infinite rette che passano per (2,3) , e ognuna interseca l'asse x in punti diversi)

Se hai un altra condizione (tipo $ p(1)= 5 $) allora puoi scrivere un altra equazione; hai un sistema di due equazioni in due incognite e il polinomio risulta determinato, così come i suoi zeri (in questo caso è uno, ma va beh)

Più chiaro ?

[Drago96]

Hai bisogno di $n+1$ valori perchè un polinomio di grado $n$ ha $n+1$ coefficienti, chiaro?

[simone256]

Si si era chiaro! Il mio ragionamento stava a dimostrare ulteriormente che i valori necessari sono almeno n+1
Comunque tutto chiaro xD