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Equazione funzionale

Inviato: 23 giu 2012, 12:32
da zeitgeist505
Trovare tutte le funzioni $ f $, definite sui numeri reali e che assumono valori reali, che soddisfano l'equazione $ f(x)f(y) = f(x + y) + xy $ per tutti gli $ x,y $ reali.

Re: Equazione funzionale

Inviato: 23 giu 2012, 15:18
da xXStephXx
Ora non so se va bene perchè non sono pratico con queste cose.

Con $ y=0 $ si ha $ f(x)f(0)=f(x) $. Da cui $ f(0)=1 $

Con $ y=1 $ ho $ f(x)f(1) = f(x+1)+x $
Con $ y=-1 $ e passando da $ x $ ad $ x+1 $ ottengo: $ f(x+1)f(-1) = f(x) -x-1 $

Mettendo a sistema quelle due relazioni trovate si ottiene:
$ f(x)(f(1)f(-1)-1) = x(f(-1)-1)+1 $

Ponendo nell'equazione di partenda $ x=1, y=-1 $ si ottiene $ f(1)f(-1) = f(0)-1 = 0 $
Quindi sostituisco l'ultima cosa trovata e ottengo: $ f(x)= -(f(-1)-1)x +1 $
Da qui ci sono due casi:
Siccome $ f(1)f(-1) = 0 $ o $ f(-1)=0 $ e quindi si arriva a $ f(x)=x+1 $
oppure $ f(1)=0 $
E quindi sostituendo $ f(1) $ con $ 0 $ nell'equazione in alto che conteneva $ f(1) $ ottengo:
$ f(x+1)=-x $ Da cui traslando arrivo a $ f(x)=1-x $

Quindi alla fine le due funzioni possibili sono solo:
$ f(x) = x+1 $ ed $ f(x) = 1-x $
Facendo la verifica ottengo che entrambe soddisfano per ogni $ x,y \in \mathbb{R} $

Re: Equazione funzionale

Inviato: 23 giu 2012, 20:14
da zeitgeist505
Allora attendiamo fonti più autorevoli che neanch'io sono troppo pratico con le funzionali :)
L'ho svolto diversamente ma ottengo stesse soluzioni più $ f(x)=0 $ (che ti sei mangiato alla prima riga della tua risposta)

Re: Equazione funzionale

Inviato: 23 giu 2012, 20:25
da xXStephXx
Non so/non penso che $ f(x)=0 $ sia una soluzione.
Otterresti $ xy=0 $ che non è soddisfatta per tutti gli $ x,y \in \mathbb{R} $

Re: Equazione funzionale

Inviato: 23 giu 2012, 20:59
da zeitgeist505
:oops: ricontrollassi quello che faccio :D
Ne ho scritta una enorme

Re: Equazione funzionale

Inviato: 27 giu 2012, 15:54
da matty96
La mia non consta di tanti passaggi(spero di non scrivere cavolate...è da un bel pò che non faccio problemi perchè sono stato impegnato con esami al conservatorio compreso quello d'ottavo)
Se x=0 ho $f(0)f(y)=f(y)$ da cui $f(0)=1$. Se x=-y ottengo $f(x)f(-x)=1-x^2$ e ponendo x=1 ottengo o $f(1)=0$ o f(-1)=0. Nel primo caso pongo x=1 da cui f(x+1)=-x, quindi $f(x)=1-x$ , nel secondo caso pongo x=-1 e con analogo procedimento ottengo $f(x)=x+1$