Trovare gli zeri di una funzione.

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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scambret
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Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da scambret » 26 mag 2012, 19:27

"Dimostrare che $ x^5-2x^3+1=0 $ ammette solo una soluzione razionale." La soluzione è $ x=1 $, e dopo un pò di calcoli (che è solo una semplice fattorizzazione che nascondo) ero arrivato a dire che le altre soluzioni dovevano soddisfare questa equazione $ x(x-1)(x+1)^2=1 $. Ma poi non so andare avanti. Qualcuno ha qualche suggerimento??
Grazie. :D
P.S. È un problema dell'esame di stato, ma io sono di secondo e c'era sul libro mio perciò non credo ci sia bisogno di usare strumenti complessi!! Grazie.
Testo nascosto:
$ p(x):x^5-2x^3+1 $
Per il teorema fondamentale dell'algebra $ p(x) $ ha 1 o 3 o 5 soluzioni in $ \mathbb{R} $
$ p(1)=0 $
$ p(x)=(x-1)q(x) $
$ q(x)=x^4+x^3-x^2-x-1 $
$ x^4+x^3-x^2-x-1\neq0 $
$ x(x^3-1)+x^2(x-1)\neq1 $
$ x(x-1)(x^2+x+1)+x^2(x-1)\neq1 $
$ (x-1)(x^3+x^2+x)+x^2(x-1)\neq1 $
$ (x-1)(x^3+2x^2+x)\neq1 $
$ x(x-1)(x+1)^2\neq1 $


scambret
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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da scambret » 26 mag 2012, 20:49

Quindi qui mi bastava dire che Ruffini garantisce la non esistenza di numeri razionali come radici?

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Tess
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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da Tess » 28 mag 2012, 21:30

scambret ha scritto:Ruffini garantisce la non esistenza di numeri razionali come radici
Se dici questo non credo tu abbia chiaro in mente cosa affermi il teorema di Ruffini. Come ha mostrato Claudio, devi prima usare il teorema delle radici razionali per dedurre che eventuali radici razionali sono nell'insieme {1,-1}, ora usi il teorema di Ruffini per controllare che queste non siano radici del polinomio.
scambret ha scritto:Per il teorema fondamentale dell'algebra p(x) ha 1 o 3 o 5 soluzioni in R
Anche qui credo ci sia qualche confusione... il teorema fondamentale dell'algebra dice che puoi sempre trovare zeri in un polinomio non costante (eventualmente zeri complessi...).

scambret
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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da scambret » 28 mag 2012, 21:48

Tess ha scritto:Se dici questo non credo tu abbia chiaro in mente cosa affermi il teorema di Ruffini. Come ha mostrato Claudio, devi prima usare il teorema delle radici razionali per dedurre che eventuali radici razionali sono nell'insieme {1,-1}, ora usi il teorema di Ruffini per controllare che queste non siano radici del polinomio.
Ah grazie mille..
Tess ha scritto:Anche qui credo ci sia qualche confusione... il teorema fondamentale dell'algebra dice che puoi sempre trovare zeri in un polinomio non costante (eventualmente zeri complessi...).
Si però il teorema fondamentale dell'algebra dice che se un numero $ x $ è complesso ed e soluzione dell'equazione ne esisterà per forza un'altro complesso. Perciò le soluzioni nei reali se ne vanno "a coppia", sottratti proprio dai complessi. Per favore ditemi se sto facendo confusione poichè sono alle prime armi. Grazie mille :D

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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da Drago96 » 28 mag 2012, 22:03

scambret ha scritto:Si però il teorema fondamentale dell'algebra dice che se un numero $ x $ è complesso ed e soluzione dell'equazione ne esisterà per forza un'altro complesso. Perciò le soluzioni nei reali se ne vanno "a coppia", sottratti proprio dai complessi. Per favore ditemi se sto facendo confusione poichè sono alle prime armi. Grazie mille :D
No, non mi pare che il teorema fondamentale dell'algebra dica questo... :?
Però puoi sempre dire $\alpha\in\mathbb C\rightarrow P(\alpha)=0\iff P(\bar\alpha)=0$ (che mi pare derivi banalmente dal fatto che i coniugati si comportano bene rispetto a somma e prodotto)

Comunque, la tua premessa non porta alla conclusione che i reali se ne vanno: un prodotto di complessi può anche essere complesso ;)
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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da Karl Zsigmondy » 28 mag 2012, 22:12

La derivata di quel polinomio è $ f'(x)=5x^4-6x^2 $, ed ho che è negativa fra $ -\sqrt{1.2} $ e $ \sqrt{1.2} $ quindi la funzione è decrescente in quell'intervallo e crescente fuori. Pertanto c'è il punto di minimo di quella funzione a $ \sqrt{1.2} $ e ora puoi fare le opportune considerazioni sulla positività e negatività di quella funzione...
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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da scambret » 28 mag 2012, 22:30

Drago96 ha scritto:
scambret ha scritto:Si però il teorema fondamentale dell'algebra dice che se un numero $ x $ è complesso ed e soluzione dell'equazione ne esisterà per forza un'altro complesso. Perciò le soluzioni nei reali se ne vanno "a coppia", sottratti proprio dai complessi. Per favore ditemi se sto facendo confusione poichè sono alle prime armi. Grazie mille :D
No, non mi pare che il teorema fondamentale dell'algebra dica questo... :?
Però puoi sempre dire $\alpha\in\mathbb C\rightarrow P(\alpha)=0\iff P(\bar\alpha)=0$ (che mi pare derivi banalmente dal fatto che i coniugati si comportano bene rispetto a somma e prodotto)

Comunque, la tua premessa non porta alla conclusione che i reali se ne vanno: un prodotto di complessi può anche essere complesso ;)
Si però dato che se un numero complesso e il suo coniugato sono uguali allora la parte immaginaria è uguale a 0, se un numero è complesso "veramente" allora le radici complesse sono in numero pari. :! :wink:

Per karl, non so le derivate perciò.. :oops:

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Tess
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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da Tess » 30 mag 2012, 21:27

Qui c'è davvero un po' di confusione...
scambret ha scritto:Si però il teorema fondamentale dell'algebra dice che se un numero x è complesso ed e soluzione dell'equazione ne esisterà per forza un'altro complesso. Perciò le soluzioni nei reali se ne vanno "a coppia", sottratti proprio dai complessi.
Questo non è vero (esempio $ p(x)=x-i $); e peraltro non ha molto senso la conclusione che ne derivi, nel senso che quello che forse vorresti dire è: se $ p(x) $ è un polinomio a coefficienti reali, allora per ogni radice complessa esiste la sua coniugata. Ma qui non dici che deve avere coefficienti reali, né che le coppie sono di numeri coniugati; che è il vero punto della questione se vuoi...
Drago96 ha scritto:Però puoi sempre dire $ \alpha\in C→P(\alpha)=0 \Leftrightarrow P(\alpha)=0 $ (che mi pare derivi banalmente dal fatto che i coniugati si comportano bene rispetto a somma e prodotto)
Questo vale se $ P(x) $ ha coefficienti reali, ed infatti il modo per dimostrarlo è che $ P(x)=\overline{P(x)}=P(\overline{x}) $ quindi se $ P(\alpha)=0 $ anche $ P(\overline{\alpha})=0 $.

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Re: Trovare gli zeri di una funzione.

Messaggio da scambret » 04 giu 2012, 15:16

Grazie mille tess, nn sapevo che i coefficienti dell'equazione dovevano essere reali! :)

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