Pagina 1 di 1

Trovare la costante!

Inviato: 22 mag 2012, 22:15
da LeZ
Trovare la costante massima $ K $, che verifica la disuguaglianza per ogni $ a,b,c,K $ reali positivi non nulli
$ a^6+b^3+c^2\geq Kabc $

Re: Trovare la costante!

Inviato: 22 mag 2012, 23:10
da spugna
Ma se prendo $b<0$ e $a=c=0$ non viene impossibile?

Re: Trovare la costante!

Inviato: 22 mag 2012, 23:22
da lama luka
"0000"

Ops, non siamo in gara a squadre..

Anche io voto per il "è impossibile", senza citare un altro controesempio, basta quello di spugna..
Se per caso tu avessi dimenticato "reali positivi" allora piazzo un mitico K=0 (o qualsiasi k negativo)

Re: Trovare la costante!

Inviato: 22 mag 2012, 23:35
da Simo_the_wolf
Forse si intendeva $ a,b,c $ reali positivi, immagino...

Re: Trovare la costante!

Inviato: 22 mag 2012, 23:44
da lama luka
Infatti, ma come ho detto in quel caso basterebbe K=0 o k negativo.. Forse con a,b,c reali positivi e K positivo si riesce ad ottenere qualcosa? (Domanda mia, visto che non me ne intendo..)

Re: Trovare la costante!

Inviato: 23 mag 2012, 14:34
da LeZ
Che sbadato! $ a,b,c,K $ reali positivi non nulli! Modifico

Re: Trovare la costante!

Inviato: 28 mag 2012, 20:59
da Tess
(Aiutino)
Beh, sembra tanto una AM-GM, no?

Re: Trovare la costante!

Inviato: 28 mag 2012, 21:47
da LeZ
L'aiutino è proprio AM - GM :D

Re: Trovare la costante!

Inviato: 29 mag 2012, 12:59
da Mist
Alur, per prima cosa si ciclano le variabili e si ottiene sommando le tre disequazioni che si ottengono in tal modo che

$\frac{\sum a^6+\sum b^3 +\sum c^2}{abc} \geq 3K$
A questo punto per AM-GM sulle varie $\sum$ (che non sono altro che somme cicliche nelle variabili date) che $\frac{\sum a^6+\sum b^3 +\sum c^2}{abc}\geq 3\cdot \frac{ (abc)^2+abc+{(abc)}^{\frac{2}{3}}}{abc} \geq 3K$ Si pone $abc = \mu$, si ottiene una funzione in una variabile: $\mu +1+\frac{\sqrt[3]{\mu} \geq k$ E da qui boh, con una derivata si ottiene la k... Avrò detto qualche castroneria forse, non so :P

Re: Trovare la costante!

Inviato: 29 mag 2012, 15:49
da LeZ
Non incasinarti con derivate e simili, come potresti scrivere per esempio $ a^6 $?

Re: Trovare la costante!

Inviato: 29 mag 2012, 16:07
da xXStephXx
Va bene AM-GM con i seguenti numeri?
$ \displaystyle \frac{a^6}{2}, \frac{a^6}{2}, \frac{b^3}{4}, \frac{b^3}{4},\frac{b^3}{4} ,\frac{b^3}{4}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6} $..

Re: Trovare la costante!

Inviato: 29 mag 2012, 17:04
da LeZ
Molto bene vai pure avanti :D

Re: Trovare la costante!

Inviato: 29 mag 2012, 17:25
da xXStephXx
Con AM-GM si ottiene:

$ \displaystyle \frac{a^6+b^3+c^2}{12} \geq \sqrt[12]{\frac{a^{12} b^{12} c^{12}}{6^6 \cdot 4^4 \cdot 2^2} } $
Che diventa:

$ \displaystyle a^6+b^3+c^2 \geq \frac{12}{\sqrt[12]{6^6 \cdot 4^4 \cdot 2^2}} \cdot abc $
Quindi k dovrebbe essere il coefficiente di abc, che in teoria si potrebbe scrivere in una forma un po' più carina :D

Re: Trovare la costante!

Inviato: 29 mag 2012, 19:07
da LeZ
Beh non è molto bello XD comunque se non ho cannato i conti, $ 2^{2\over3}\cdot{3^{1\over2}} $