Trovare la costante!

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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LeZ
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Trovare la costante!

Messaggio da LeZ » 22 mag 2012, 22:15

Trovare la costante massima $ K $, che verifica la disuguaglianza per ogni $ a,b,c,K $ reali positivi non nulli
$ a^6+b^3+c^2\geq Kabc $
Ultima modifica di LeZ il 23 mag 2012, 14:40, modificato 2 volte in totale.

spugna
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da spugna » 22 mag 2012, 23:10

Ma se prendo $b<0$ e $a=c=0$ non viene impossibile?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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lama luka
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da lama luka » 22 mag 2012, 23:22

"0000"

Ops, non siamo in gara a squadre..

Anche io voto per il "è impossibile", senza citare un altro controesempio, basta quello di spugna..
Se per caso tu avessi dimenticato "reali positivi" allora piazzo un mitico K=0 (o qualsiasi k negativo)
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Simo_the_wolf
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da Simo_the_wolf » 22 mag 2012, 23:35

Forse si intendeva $ a,b,c $ reali positivi, immagino...

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lama luka
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da lama luka » 22 mag 2012, 23:44

Infatti, ma come ho detto in quel caso basterebbe K=0 o k negativo.. Forse con a,b,c reali positivi e K positivo si riesce ad ottenere qualcosa? (Domanda mia, visto che non me ne intendo..)
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LeZ
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ » 23 mag 2012, 14:34

Che sbadato! $ a,b,c,K $ reali positivi non nulli! Modifico

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Tess
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da Tess » 28 mag 2012, 20:59

(Aiutino)
Beh, sembra tanto una AM-GM, no?

LeZ
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ » 28 mag 2012, 21:47

L'aiutino è proprio AM - GM :D

Mist
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da Mist » 29 mag 2012, 12:59

Alur, per prima cosa si ciclano le variabili e si ottiene sommando le tre disequazioni che si ottengono in tal modo che

$\frac{\sum a^6+\sum b^3 +\sum c^2}{abc} \geq 3K$
A questo punto per AM-GM sulle varie $\sum$ (che non sono altro che somme cicliche nelle variabili date) che $\frac{\sum a^6+\sum b^3 +\sum c^2}{abc}\geq 3\cdot \frac{ (abc)^2+abc+{(abc)}^{\frac{2}{3}}}{abc} \geq 3K$ Si pone $abc = \mu$, si ottiene una funzione in una variabile: $\mu +1+\frac{\sqrt[3]{\mu} \geq k$ E da qui boh, con una derivata si ottiene la k... Avrò detto qualche castroneria forse, non so :P
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

LeZ
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ » 29 mag 2012, 15:49

Non incasinarti con derivate e simili, come potresti scrivere per esempio $ a^6 $?

xXStephXx
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da xXStephXx » 29 mag 2012, 16:07

Va bene AM-GM con i seguenti numeri?
$ \displaystyle \frac{a^6}{2}, \frac{a^6}{2}, \frac{b^3}{4}, \frac{b^3}{4},\frac{b^3}{4} ,\frac{b^3}{4}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6}, \frac{c^2}{6} $..

LeZ
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ » 29 mag 2012, 17:04

Molto bene vai pure avanti :D

xXStephXx
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da xXStephXx » 29 mag 2012, 17:25

Con AM-GM si ottiene:

$ \displaystyle \frac{a^6+b^3+c^2}{12} \geq \sqrt[12]{\frac{a^{12} b^{12} c^{12}}{6^6 \cdot 4^4 \cdot 2^2} } $
Che diventa:

$ \displaystyle a^6+b^3+c^2 \geq \frac{12}{\sqrt[12]{6^6 \cdot 4^4 \cdot 2^2}} \cdot abc $
Quindi k dovrebbe essere il coefficiente di abc, che in teoria si potrebbe scrivere in una forma un po' più carina :D

LeZ
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Re: Trovare la costante!

Messaggio da LeZ » 29 mag 2012, 19:07

Beh non è molto bello XD comunque se non ho cannato i conti, $ 2^{2\over3}\cdot{3^{1\over2}} $

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