irrrriducibile

[alunik]

Mostrare che per p primo$ ≠2 $
$ \displaystyle{P(x)=x^p+p^2x^2+px+p-1} $ é irriducibile su Q

[Tess]

Beh, il polinomio $ P(x+1) $ è monico, ha tutti gli altri coefficienti multipli di $ p $, ed ha termine noto uguale a $ p(p+2) $, che non è multiplo di $ p^2 $ quando $ p>2 $. Quindi per Eisenstein è irriducibile in $ \mathbb{Z} $; quindi per Eulero è irriducibile in $ \mathbb{Q} $.
È utile ricordare il trucco di spostare di 1 il polinomio per ottenere le ipotesi per applicare Eisenstein. Si usa anche per mostrare che i $ p- $esimi polinomi ciclotomici sono irriducibili.

[alunik]

Sí, il trucco che avevo visto.. comunque non era di Gauss il lemma per estendere a Z?

[Tess]

Ah, sì! Era ovviamente il lemma di Gauss! Come ho fatto a conforndere i nomi ?