irrrriducibile

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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alunik
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irrrriducibile

Messaggio da alunik » 30 apr 2012, 12:47

Mostrare che per p primo$ ≠2 $
$ \displaystyle{P(x)=x^p+p^2x^2+px+p-1} $ é irriducibile su Q
[tex]\equiv mergency[/tex]

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Tess
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Re: irrrriducibile

Messaggio da Tess » 08 mag 2012, 21:00

Beh, il polinomio $ P(x+1) $ è monico, ha tutti gli altri coefficienti multipli di $ p $, ed ha termine noto uguale a $ p(p+2) $, che non è multiplo di $ p^2 $ quando $ p>2 $. Quindi per Eisenstein è irriducibile in $ \mathbb{Z} $; quindi per Eulero è irriducibile in $ \mathbb{Q} $.
È utile ricordare il trucco di spostare di 1 il polinomio per ottenere le ipotesi per applicare Eisenstein. Si usa anche per mostrare che i $ p- $esimi polinomi ciclotomici sono irriducibili. :wink:

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alunik
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Re: irrrriducibile

Messaggio da alunik » 08 mag 2012, 22:41

Sí, il trucco che avevo visto.. comunque non era di Gauss il lemma per estendere a Z?
[tex]\equiv mergency[/tex]

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Tess
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Re: irrrriducibile

Messaggio da Tess » 09 mag 2012, 15:43

Ah, sì! Era ovviamente il lemma di Gauss! Come ho fatto a conforndere i nomi ? :o

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