Curiosa Identità

[amatrix92]

Definiamo le seguenti successioni numeriche:


$ \displaystyle a_n = \binom { n }{0} + \binom{n}{4} + \binom {n}{8} + \dots $

$ \displaystyle b_n = \binom { n }{1} + \binom{n}{5} + \binom {n}{9} + \dots $

$ \displaystyle c_n = \binom { n }{2} + \binom{n}{6} + \binom {n}{10} + \dots $

$ \displaystyle d_n = \binom { n }{3} + \binom{n}{7} + \binom {n}{11} + \dots $


Si mostri che, per ogni $ n $ naturale maggiore di 0. vale

$ \displaystyle a_n ^ 2+ b_n^2+ c_n^2+ d_n^2 = 2^{n-1}( 2^{n-1}+1) $

[Simo_the_wolf]

un suggerimentino...

Testo nascosto:

$ (1+1)^n=? $
$ (1+ (-1))^n=? $
$ (1+i)^n=? $
$ (1+(-i))^n=? $
forse bastano solo questi ultimi due...

[kalu]

Beh il suggerimento aiuta molto, mi limito a concludere per non lasciare le cose a metà
Si vede subito che

$ (1+1)^n=(a_n+c_n)+(b_n+d_n) $
$ (1-1)^n=(a_n+c_n)-(b_n+d_n) $
$ (1+i)^n=(a_n-c_n)+(b_n-d_n)i $
$ (1-i)^n=(a_n-c_n)-(b_n-d_n)i $

Quindi con pochi conti
$ a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2=\displaystyle \frac{ \left(\frac{(1+1)^n+(1-1)^n}{2} \right)^2+\left(\frac{(1+1)^n-(1-1)^n}{2} \right)^2+(1+i)^n(1-i)^n}{2}=2^{n-1}(2^{n-1}+1) $

[spugna]

Beh il suggerimento aiuta molto

E io che ci avevo pensato per ore senza concludere niente...!
Io l'ho fatta per induzione:
$a_{n+1}=d_n+a_n$
$b_{n+1}=a_n+b_n$
$c_{n+1}=b_n+c_n$
$d_{n+1}=c_n+d_n$

Quindi da $a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2=2^{n-1}(2^{n-1}-1)$ segue

$a_{n+1}^2+b_{n+1}^2+c_{n+1}^2+d_{n+1}^2=(d_n+a_n)^2+(a_n+b_n)^2+(b_n+c_n)^2+(c_n+d_n)^2=$

$=2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)+2(a_n+c_n)(b_n+d_n)=2^n(2^{n-1}-1)+2(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}+d_{n-1})^2=$

$=2^{2n-1}-2^n+2^{2n-1}=2^{2n}-2^n=2^n(2^n-1)$