Curiosa Identità

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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amatrix92
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Curiosa Identità

Messaggio da amatrix92 » 22 apr 2012, 22:16

Definiamo le seguenti successioni numeriche:


$ \displaystyle a_n = \binom { n }{0} + \binom{n}{4} + \binom {n}{8} + \dots $

$ \displaystyle b_n = \binom { n }{1} + \binom{n}{5} + \binom {n}{9} + \dots $

$ \displaystyle c_n = \binom { n }{2} + \binom{n}{6} + \binom {n}{10} + \dots $

$ \displaystyle d_n = \binom { n }{3} + \binom{n}{7} + \binom {n}{11} + \dots $


Si mostri che, per ogni $ n $ naturale maggiore di 0. vale

$ \displaystyle a_n ^ 2+ b_n^2+ c_n^2+ d_n^2 = 2^{n-1}( 2^{n-1}+1) $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Simo_the_wolf
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Re: Curiosa Identità

Messaggio da Simo_the_wolf » 26 apr 2012, 23:03

un suggerimentino...
Testo nascosto:
$ (1+1)^n=? $
$ (1+ (-1))^n=? $
$ (1+i)^n=? $
$ (1+(-i))^n=? $
forse bastano solo questi ultimi due...

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kalu
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Re: Curiosa Identità

Messaggio da kalu » 10 mag 2012, 14:45

Beh il suggerimento aiuta molto, mi limito a concludere per non lasciare le cose a metà :)
Si vede subito che

$ (1+1)^n=(a_n+c_n)+(b_n+d_n) $
$ (1-1)^n=(a_n+c_n)-(b_n+d_n) $
$ (1+i)^n=(a_n-c_n)+(b_n-d_n)i $
$ (1-i)^n=(a_n-c_n)-(b_n-d_n)i $

Quindi con pochi conti
$ a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2=\displaystyle \frac{ \left(\frac{(1+1)^n+(1-1)^n}{2} \right)^2+\left(\frac{(1+1)^n-(1-1)^n}{2} \right)^2+(1+i)^n(1-i)^n}{2}=2^{n-1}(2^{n-1}+1) $
Pota gnari!

spugna
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Re: Curiosa Identità

Messaggio da spugna » 12 mag 2012, 21:13

kalu ha scritto:Beh il suggerimento aiuta molto
E io che ci avevo pensato per ore senza concludere niente...! :oops:
Io l'ho fatta per induzione:
$a_{n+1}=d_n+a_n$
$b_{n+1}=a_n+b_n$
$c_{n+1}=b_n+c_n$
$d_{n+1}=c_n+d_n$

Quindi da $a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2=2^{n-1}(2^{n-1}-1)$ segue

$a_{n+1}^2+b_{n+1}^2+c_{n+1}^2+d_{n+1}^2=(d_n+a_n)^2+(a_n+b_n)^2+(b_n+c_n)^2+(c_n+d_n)^2=$

$=2(a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2)+2(a_n+c_n)(b_n+d_n)=2^n(2^{n-1}-1)+2(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}+d_{n-1})^2=$

$=2^{2n-1}-2^n+2^{2n-1}=2^{2n}-2^n=2^n(2^n-1)$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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