Irriducibilità

[Simo_the_wolf]

Non so se questo problema è stato già dato in precedenza, comunque lo metto qui. Sia $ a_1,a_2, \ldots a_n $ una $ n $-upla di numeri interi distinti. Si dimostri che i seguenti polinomi sono irriducibili in $ \mathbb{Z}[x] $:

1- $ (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) -1 $
2- $ (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) + 1 $ (con l'ipotesi che $ n \geq 3 $)
3- $ [(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)]^2 + 1 $ (anche questo con $ n \geq 3 $)

good luck!

Naturalmente, chiunque voglia, si senta libero di postare dimostrazioni, suggerimenti, tentativi....

[Drago96]

Perdonate l'ignoranza, ma "irriducibile" significa che ha almeno una radice non intera? (in questo caso)

[amatrix92]

Perdonate l'ignoranza, ma "irriducibile" significa che ha almeno una radice non intera? (in questo caso)

Irriducibile vuol dire che non è scomponibile in polinomi di grado minore a coefficienti interi, quindi condizione necessaria è che non abbia radici intere.

[Simo_the_wolf]

Esatto: un polinomio $ p(x) $ si dice irriducibile se non esistono due polinomi non banali (cioé almeno di primo grado) $ q_1(x), q_2(x) $, tali che $ p(x)=q_1(x)q_2(x) $, e dove di solito si intende, se non specificato, che i polinomi $ q_1, q_2 $ devono essere interi se i coefficienti di $ p $ sono interi, razionali se quelli di $ p $ sono razionali ecc... Ad esempio $ x^2+x+1, x^3+2 $ sono polinomi irriducibili, mentre $ x^2+2x+1,x^{2012}-1, x^5+x+1 $ si dice che sono riducibili (il contrario di irriducibili). Chi mi trova una scomposizione per l'ultimo menzionato?

[ant.py]

$ x^5 +x + 1 = (x^2 +x +1)(x^3-x^2+1) $

[Simo_the_wolf]

Magari anche un ragionamento sarebbe gradito... come hai trovato quella scomposizione? e se dovessi trovare quella di $ x^{2012} +x +1 $ ??

[Nabir Albar]

Qui se leggo bene il copione io facevo notare che

2- $ (x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n) + 1 $ (con l'ipotesi che $ n \geq 3 $)

per $n=4$ ha il controesempio $x(x-1)(x-2)(x-3)+1=(x^2-3x+1)^2$ (e volendo infiniti altri traslando la $x$). Serve l'ipotesi $n\ge 5$