Mia soluzione :
Testo nascosto:
Se x=0 ottengo $f(f(0)^2+f(y))=y$, $k=f(0)$. Chiamo $g(x)=k^2+f(x)$ che mi dice $f(g(x))=x$ cioè che f composto g è bigettiva. Poichè f composto g è iniettiva, g è inettiva; dato che quella composizione è anche suriettiva, ottengo anche che f è suriettiva. $g(x)=f(x)+k^2$ è iniettiva, quindi anche f deve esserlo, per cui f è bigettiva. Quindi esiste un $x \in \mathbb{R}$ tale che $f(x)=0$ e questo mi da $f(f(y))=y$.Se x=0 ho che $f(k^2+f(y))=y$ , da cui $f(0)=0$. $f(f(x)^2+y)=f(f(x)^2+f(f(y)))=xf(x)+f(y)$. Se y=0 ho $f(f(x)^2)=f(f(x)\cdot f(x))= xf(x)=f(f(x))\cdot f(x)$. Questo vale a dire che $f(f(x)^2)=f(x^2)$ e per l'iniettività $f(x)^2=x^2$ da cui $f(x)=x$ e $f(x)=-x$ , $x \in \mathbb{R}$. Controllo e vedo che vanno bene.
P.S. in un'altr eq. funz. ho visto che una volta trovato $f(x)^2=x^2$ arrivava a provare che $xy=f(x)f(y)$. Nel caso l'ho provato anch'io ma non ha capito bene perchè fa cosi. Forse perchè vuole accertarsi che siano vere entrambe le funzioni, ma non basterebbe andare a sostituire nell'eq. iniziale?
P.S. in un'altr eq. funz. ho visto che una volta trovato $f(x)^2=x^2$ arrivava a provare che $xy=f(x)f(y)$. Nel caso l'ho provato anch'io ma non ha capito bene perchè fa cosi. Forse perchè vuole accertarsi che siano vere entrambe le funzioni, ma non basterebbe andare a sostituire nell'eq. iniziale?
