f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y

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matty96
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f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y

Messaggio da matty96 » 11 apr 2012, 13:12

Spero di averla risolta bene: Trovare le funzioni f dai reali ai reali tali che $f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y$ per ogni x,y reale

Mia soluzione :
Testo nascosto:
Se x=0 ottengo $f(f(0)^2+f(y))=y$, $k=f(0)$. Chiamo $g(x)=k^2+f(x)$ che mi dice $f(g(x))=x$ cioè che f composto g è bigettiva. Poichè f composto g è iniettiva, g è inettiva; dato che quella composizione è anche suriettiva, ottengo anche che f è suriettiva. $g(x)=f(x)+k^2$ è iniettiva, quindi anche f deve esserlo, per cui f è bigettiva. Quindi esiste un $x \in \mathbb{R}$ tale che $f(x)=0$ e questo mi da $f(f(y))=y$.Se x=0 ho che $f(k^2+f(y))=y$ , da cui $f(0)=0$. $f(f(x)^2+y)=f(f(x)^2+f(f(y)))=xf(x)+f(y)$. Se y=0 ho $f(f(x)^2)=f(f(x)\cdot f(x))= xf(x)=f(f(x))\cdot f(x)$. Questo vale a dire che $f(f(x)^2)=f(x^2)$ e per l'iniettività $f(x)^2=x^2$ da cui $f(x)=x$ e $f(x)=-x$ , $x \in \mathbb{R}$. Controllo e vedo che vanno bene.

P.S. in un'altr eq. funz. ho visto che una volta trovato $f(x)^2=x^2$ arrivava a provare che $xy=f(x)f(y)$. Nel caso l'ho provato anch'io ma non ha capito bene perchè fa cosi. Forse perchè vuole accertarsi che siano vere entrambe le funzioni, ma non basterebbe andare a sostituire nell'eq. iniziale?
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Re: f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y

Messaggio da fph » 11 apr 2012, 14:29

Quasi giusto fino alla fine...
Testo nascosto:
matty96 ha scritto: $f(x)^2=x^2$ da cui $f(x)=x$ e $f(x)=-x$ , $x \in \mathbb{R}$
Occhio: anche una funzione tale che
\[
f(x)=\begin{cases}x & \text{per $x$ in un certo insieme $A$}\\ -x & \text{altrimenti}\end{cases}
\]
soddisfa $f(x)^2=x^2$, ma non è una delle due che hai trovato. In altre parole quel segno più o meno può variare a seconda del singolo $x$. Devi fare un altro po' di lavoro per escludere queste soluzioni "miste" (o magari vedere se ce n'è qualcuna che soddisfa l'equazione iniziale).

Questo dettaglio capita abbastanza spesso ed è un punto delicato --- probabilmente tutti quando abbiamo imparato le equazioni funzionali abbiamo fatto questo errore all'inizio prima che qualcuno ce lo facesse notare. :)

Un'altra osservazione che forse troverai interessante: il discorso iniziale su iniettività/suriettività si può semplificare leggermente se noti che quello che hai ottenuto è $f(h(f(x)))$, dove $h(z)=z+k^2$. Quindi $f$ è sia la funzione "più interna" che quella "più esterna"...
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Re: f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y

Messaggio da matty96 » 11 apr 2012, 20:21

Testo nascosto:
E se io provassi che $f(x)f(y)=xy$ per x,y reali, ponendo y=1, posso dire che $f(x)=ax$ per $a=\frac{1}{f(1)}$? Cosi andando a sostituire nell'equazione mi escono i valori di a per cui è valida la funzione...già che ci siamo $(x^2+y)^2=f(x^2+y)^2 =f(f(x)^2+y)^2=(xf(x)+f(y))^2=x^2f(x)^2+f(y)^2+2xf(x)f(y)$ da cui $x^4+y^2+2x^2y=x^4+y^2+2xf(x)f(y)$ e quindi $f(x)f(y)=xy$. Arriviamo dunque ad affermare, per y=1, che $f(x)=ax$, ma $f(x)^2=a^2x^2=x^2$ e ciò significa che $a=1$ o $a=-1$
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Re: f(f(x)^2+f(y))=xf(x)+y

Messaggio da fph » 11 apr 2012, 22:10

Ok ora!
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