Disuguaglianza #2

[Eleven]

Siano $ x,y,z \in \mathbb{R}^+ $ tali che $ xyz=1 $. Dimostra che $ (x^3+y^3+z^3)^5 \leq (x^5y^5+y^5z^5+z^5x^5)(x^5+y^5+z^5)^4 $

[Mist]

provo io ! La disuguaglianza di Holder dice che $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}\cdot\ldots\cdot a_{mi}\right) \le\left(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}^{p_1}\right)^{\frac{1}{p_1}}\cdot\ldots\cdot \left(\sum_{i=1}^{n}a_{mi}^{p_m}\right)^{\frac{1}{p_m}}$ con $\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\frac{1}{p_j} =1$. Posto $p_{j} =k \quad \forall j$, ottengo che $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}\cdot\ldots\cdot a_{mi}\right)^k \le\left(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}^{k}\right)\cdot\ldots\cdot \left(\sum_{i=1}^{n}a_{mi}^{k}\right)$. Posto $k=5$, $a_{11} = a_{21} = a_{31}=a_{41}=x$, $a_{12} = a_{22} =a_{32}=a_{42}=y$, $a_{13} = a_{23}=a_{33} = a_{43} =z$, $a_{31}xy=\frac{1}{z}$, $\displaystyle a_{53} = xy = \frac{1}{z}$, $\displaystyle a_{52} = xz = \frac{1}{y}$, $\displaystyle a_{51} = zy = \frac{1}{x}$ nella disequazione sopra si ottiene la tesi. Se ora uno ne trova una che non usi un cannone è il benvenuto

[Sonner]

$\displaystyle RHS=(\sum {\frac{1}{x^5}})(\sum {x^5})^4\geq 9(\sum x^5)^3$ per C.S. (o AM-QM).

Ora quello è $\geq LHS$ perchè è proprio $M_5 \geq M_3$.