Esercizietto coi complessi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Sonner
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Esercizietto coi complessi

Messaggio da Sonner » 18 feb 2012, 17:16

Sia $P(x)=x^2+px+q^2$ a coefficienti complessi. Mostrare che se le due radici del polinomio hanno lo stesso modulo allora $\frac{p}{q}$ è un numero reale.

Mist
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da Mist » 18 feb 2012, 20:22

Chiamo le due soluzioni dell'equazione $x_1= \rho e^{ix} =\rho ( i\sin{x}+\cos{x})$ e $x_2= \rho e^{iy} = \rho (i\sin{y}+\cos{y})$. Per le formule di vietè e poi per quelle di prostaferesi, $\displaystyle p= -\rho i(\sin{x}+\sin{y})-\rho (\cos{x}+\cos{y})=-\rho 2i\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}-\rho 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}} =-2\rho \cos{\frac{x-y}{2}}\left( i\sin{\frac{x+y}{2}}+\cos{\frac{x+y}{2}}\right) $.
D'altra parte, sempre per le formule di vietè e successivamente per le formule di de moivre, $\displaystyle q = \sqrt{x_1x_2} = \rho e^{i\frac{x+y}{2}} =\rho \left( i\sin{\frac{x+y}{2}}+\cos{\frac{x+y}{2}}\right)$. Facendo il rapporto si ottiene che $\displaystyle \frac{p}{q} = -2\cos{\frac{x-y}{2}}\in \mathbb{R}$
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ma_go
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da ma_go » 18 feb 2012, 21:34

e se vi dicessi che c'è una soluzione (quasi completamente) senza conti?

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balossino
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da balossino » 18 feb 2012, 21:36

Credo che il topic andrebbe spostato in matematica non elementare...

ma_go
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da ma_go » 19 feb 2012, 15:18

su, utenti giovani! non fatevi spaventare da tanti seni e coseni, vi garantisco che c'è una soluzione che non li nomina, e che è elementare (almeno tanto quanto la nozione di numero complesso).

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<enigma>
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da <enigma> » 19 feb 2012, 17:14

Più semplice.
Testo nascosto:
Serve $\arg p \equiv \arg q \pmod \pi$; se $\alpha$ e $\beta$ sono le due radici, vogliamo dimostrare che $\arg(-\alpha-\beta)\equiv\arg \sqrt{\alpha \beta}$. Poiché $\arg(-z) \equiv \arg z$, $\arg(zw)=\arg z+\arg w$ e $\arg \sqrt z = \frac 1 2 \arg z$, rimane $\arg (\alpha+\beta) \equiv \frac 1 2 (\arg \alpha+\arg \beta)$, che è vera perché $|\alpha|=|\beta|$.
balossino ha scritto:Credo che il topic andrebbe spostato in matematica non elementare...
I numeri complessi sono programma standard per le olimpiadi, e anche programma scolastico di 3° liceo a quanto ne so io, dunque direi che non sono meno elementari di tante altre cose su cui si scrive in questa sezione.
Ultima modifica di <enigma> il 19 feb 2012, 17:24, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da doiug.8 » 19 feb 2012, 17:23

$|x_1|=|x_2|$
$|\sqrt{p^2-4q^2}-p|=|-\sqrt{p^2-4q^2}-p|$
$p=0 \vee p=\pm 2q$
$\frac{p}{q}=0 \vee \frac{p}{q}=\pm 2$

Ho scritto una stronzata?

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<enigma>
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da <enigma> » 19 feb 2012, 17:27

doiug.8 ha scritto:$|x_1|=|x_2|$
$|\sqrt{p^2-4q^2}-p|=|-\sqrt{p^2-4q^2}-p|$
$p=0 \vee p=\pm 2q$
$\frac{p}{q}=0 \vee \frac{p}{q}=\pm 2$

Ho scritto una stronzata?
Purtroppo stai parlando di numeri complessi: a differenza del valore assoluto coi reali, per il modulo $|z|=|w|$ non implica $z=\pm w$ se $z, w, \in \mathbb C$.
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Re: Esercizietto coi complessi

Messaggio da doiug.8 » 19 feb 2012, 17:44

<enigma> ha scritto:
doiug.8 ha scritto:$|x_1|=|x_2|$
$|\sqrt{p^2-4q^2}-p|=|-\sqrt{p^2-4q^2}-p|$
$p=0 \vee p=\pm 2q$
$\frac{p}{q}=0 \vee \frac{p}{q}=\pm 2$

Ho scritto una stronzata?
Purtroppo stai parlando di numeri complessi: a differenza del valore assoluto coi reali, per il modulo $|z|=|w|$ non implica $z=\pm w$ se $z, w, \in \mathbb C$.
Pensandoci meglio, sul piano di Gauss il luogo dei punti che hanno lo stesso modulo è una circonferenza, quindi ciò che ho scritto è più di una stronzata :)

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