Condizione necessaria

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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razorbeard
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Condizione necessaria

Messaggio da razorbeard » 27 gen 2012, 19:34

Sia a un numero reale positivo; mostrare che il polinomio $p(x) = a^3x^3+a^2x^2 + ax + a$ ha una radice intera se e solo se $a=1$.
E' un buon giorno... per morire

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balossino
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Re: Condizione necessaria

Messaggio da balossino » 27 gen 2012, 21:12

razorbeard ha scritto:Sia a un numero reale positivo; mostrare che il polinomio $p(x) = a^3x^3+a^2x^2 + ax + a$ ha una radice intera se e solo se $a=1$.
Intendi esattamente una radice intera, almeno una radice intera o solo una radice intera?

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razorbeard
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Re: Condizione necessaria

Messaggio da razorbeard » 27 gen 2012, 21:24

Io interpreterei come "almeno",ma non sono per niente certo,in ogni caso il testo non lo specifica :|.
E' un buon giorno... per morire

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Drago96
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Re: Condizione necessaria

Messaggio da Drago96 » 27 gen 2012, 21:57

Una delle due frecce è facile...

$a=1\Rightarrow P(n)=0,n\in\mathbb Z$
Immediato, perchè sostituendo $a$ si ottiene $P(x)=x^3+x^2+x+1$, che è reciproca e ha come radice $-1$.

Per l'altra ci devo pensare un po'... :roll:
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karlosson_sul_tetto
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Re: Condizione necessaria

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 27 gen 2012, 22:22

Per l'altra mi è venuta una cosa in mente:
Testo nascosto:
presupponiamo he $ ax=k $. $ k $ può essere un numero qualsiasi, indipendemente da $ a $. Quindi verrebbe:
$ k^3+k^2+k+a $ che è risolvibile con il sistema che hai usato in precedenza ottenendo $ a=1 $
Mi pare che sia una "soluzione", ma non ne sono sicuro :roll:
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"

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