Polinomi strani

[bĕlcōlŏn]

Trovare tutti i polinomi di terzo grado a coefficienti interi tali che per ogni terna di numeri reali $(a,b,c)$ per cui si abbia $a+b+c=2$ e $a^2+b^2+c^2=2$, sia vero che $f(a)=f(b)=f(c)$.

[Karl Zsigmondy]

Sia $ f(x)=px^3+qx^2+rx+s $. Dalla terna (1,1,0) ottengo che f(1)=f(0) da cui $ p+q+r+s=s \rightarrow p=-q-r $. Quindi ho che $ f(x)=(-q-r)x^3+qx^2+rx+s $. Dalla terna $ (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}) $ ottengo che $ q=-2r $ da cui $ f(x)=rx^3-2rx^2+rx+s $. Ora è evidente che s possa assumere qualsiasi valore, infatti uguagliando due f(.) si semplifica sempre. Quindi $ f(x)=rx(x-1)^2+s $ con s intero qualsiasi. Ma si nota che per la terna $ (\frac{1}{7}, \frac{4}{7}, \frac{8}{7}) \ ; \ f(\frac{1}{7}) \neq f(\frac{8}{7}) $ a meno che r=0, ma in questo caso il polinomio non è di terzo grado.

[bĕlcōlŏn]

per la terna $ (\frac{1}{7}, \frac{4}{7}, \frac{8}{7}) \ ; \ f(\frac{1}{7}) \neq f(\frac{8}{7}) $ a meno che r=0, ma in questo caso il polinomio non è di terzo grado.

La terna è $\left(\dfrac{1}{7},\dfrac{4}{7},\dfrac{9}{7}\right)$ e non genera nessuna contraddizione

[Karl Zsigmondy]

Sì, c'era un errore di calcolo, ora termino la dimostrazione. Dal momento che c=2-a-b ho che $ a^2+b^2+c^2=2 $ è equivalente a $ a^2 + b^2 + (2-a-b)^2=2 $ che facendo i conti diventa $ a^2+b^2+ab-2a-2b+1=0 $. Imponendo che $ f(a)=f(b) $ ottengo che $ ra(a-1)^2+s=rb(b-1)^2+s \ ; \ a(a-1)^2=b(b-1)^2 \ ; \ a^3-2a^2+a = b^3 -2b^2+b $ ovvero $ (a^3-b^3)-2(a^2-b^2)+(a-b)=0 \ ; \ (a-b)(a^2+ab+b^2)-2(a+b)(a-b)+(a-b)=0 \ ; \ (a-b)(a^2+b^2+ab-2a-2b+1)=0 $. Ora, se $ a \neq b $ ho ottenuto che le due condizioni sono equivalenti quindi la tesi vale per qualsiasi scelta di r (e di s). Se a=b ho che $ 3a=3a^2=2 $ che non ha soluzioni. Quindi tutti i polinomi validi sono quelli della forma
$ f(x)=rx(x-1)^2+s $ con r, s interi qualsiasi ($ r \neq 0 $).

[bĕlcōlŏn]

Bene