Disequazione con triangoli

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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karlosson_sul_tetto
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Disequazione con triangoli

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 14 gen 2012, 11:20

(Kvant,1970,2,M7)
Siano a,b,c i lati di un triangolo. Dimostrare che:
$ \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3 $
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"

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Karl Zsigmondy
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Re: Disequazione con triangoli

Messaggio da Karl Zsigmondy » 14 gen 2012, 13:52

Faccio la classica sostituzione:
$ x = \frac{b+c-a}{2} $
$ y = \frac{a+c-b}{2} $
$ z = \frac{b+a-c}{2} $
Ora x, y, z sono reali positivi qualsiasi (sono la misura dei segmenti che collegano un vertice ad uno dei 2 punti di tangenza con l'incerchio più vicini). La disuguaglianza diventa quindi:
$ \frac{y+z}{2x} + \frac{z+x}{2y} + \frac{x+y}{2z} \geq 3 $
Che facendo i conti diventa:
$ x^2y + xy^2 + y^2z + zy^2 + z^2x + zx^2 \geq 6xyz $
Vera per Bunching oppure AM-GM.
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi."
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