Resto della divisione
Inviato: 01 gen 2012, 23:31
Siano $ a $, $ b $, $ c $ tre numeri reali distinti e sia $ P(x) $ un polinomio a coefficienti reali. Sapendo che:
(i) $ P(x) $ diviso per $ (x - a) $ dà resto $ a $;
(ii) $ P(x) $ diviso per $ (x - b) $ dà resto $ b $;
(iii) $ P(x) $ diviso per $ (x- c) $ dà resto $ c $,
determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di
$ P(x) $ per $ (x - a)(x - b)(x - c) $.
Non ho idea di quale sia la soluzione.
Io avevo pensato che il polinomio $ P(x) $ si potesse scrivere come: $ \displaystyle{P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
(nella formula di sopra c'è un'altra parte che viene tagliata fuori con la mia risoluzione che è 1024 di larghezza).
Posso dire che il resto sia questo?
$ \displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
Come polinomio è di secondo grado, quindi minore del terzo grado che ha il divisore (e questa condizione la soddisfa).. Inoltre dovrebbe (salvo condizioni che ho dimenticato) soddisfare anche la (i), (ii) e (iii)..
E' quello il resto? Se sì, come si potrebbe dimostrare?
(i) $ P(x) $ diviso per $ (x - a) $ dà resto $ a $;
(ii) $ P(x) $ diviso per $ (x - b) $ dà resto $ b $;
(iii) $ P(x) $ diviso per $ (x- c) $ dà resto $ c $,
determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di
$ P(x) $ per $ (x - a)(x - b)(x - c) $.
Non ho idea di quale sia la soluzione.
Io avevo pensato che il polinomio $ P(x) $ si potesse scrivere come: $ \displaystyle{P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
(nella formula di sopra c'è un'altra parte che viene tagliata fuori con la mia risoluzione che è 1024 di larghezza).
Posso dire che il resto sia questo?
$ \displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
Come polinomio è di secondo grado, quindi minore del terzo grado che ha il divisore (e questa condizione la soddisfa).. Inoltre dovrebbe (salvo condizioni che ho dimenticato) soddisfare anche la (i), (ii) e (iii)..
E' quello il resto? Se sì, come si potrebbe dimostrare?