Siano $ a $, $ b $, $ c $ tre numeri reali distinti e sia $ P(x) $ un polinomio a coefficienti reali. Sapendo che:
(i) $ P(x) $ diviso per $ (x - a) $ dà resto $ a $;
(ii) $ P(x) $ diviso per $ (x - b) $ dà resto $ b $;
(iii) $ P(x) $ diviso per $ (x- c) $ dà resto $ c $,
determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di
$ P(x) $ per $ (x - a)(x - b)(x - c) $.
Non ho idea di quale sia la soluzione.
Io avevo pensato che il polinomio $ P(x) $ si potesse scrivere come: $ \displaystyle{P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
(nella formula di sopra c'è un'altra parte che viene tagliata fuori con la mia risoluzione che è 1024 di larghezza).
Posso dire che il resto sia questo?
$ \displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
Come polinomio è di secondo grado, quindi minore del terzo grado che ha il divisore (e questa condizione la soddisfa).. Inoltre dovrebbe (salvo condizioni che ho dimenticato) soddisfare anche la (i), (ii) e (iii)..
E' quello il resto? Se sì, come si potrebbe dimostrare?
Resto della divisione
Re: Resto della divisione
Considera il polinomio $ P(x)-x $. Questo puoi scriverlo come $ (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) $, da cui il resto è x.
Re: Resto della divisione
In effetti mi sono complicato la vita, non notando la cosa più visibile..
Ed essendo entrambi di grado minore di 3, come stabilisco quale dei due può essere il resto?
Ed essendo entrambi di grado minore di 3, come stabilisco quale dei due può essere il resto?
Re: Resto della divisione
$P(x)=Q_1(x)(x-a)+a$, $P(x)=Q_2(x)(x-b)+b$, $P(x)=Q_3(x)(x-c)+c$. Da cui $P(a)=a$, $P(b)=b$, $P(c)=c$. Poichè $\deg((x-a)(x-b)(x-c))=3$, detto $R(x)$ il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$, $\deg(R(x))\le2$.
Pertanto $R(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ e $P(x)=Q(x)(x-a)(x-b)(x-c)+\alpha x^2+\beta x+\gamma$.
$a=P(a)=\alpha a^2+\beta a+\gamma$
$b=P(b)=\alpha b^2+\beta b+\gamma$
$c=P(c)=\alpha c^2+\beta c+\gamma$
Risolvendo il sistema viene che: $\alpha=0$, $\beta=1$, $\gamma=0$. Quindi $R(x)=x$.
edit: ops, non avevo visto il messaggio di mattteo.
Pertanto $R(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ e $P(x)=Q(x)(x-a)(x-b)(x-c)+\alpha x^2+\beta x+\gamma$.
$a=P(a)=\alpha a^2+\beta a+\gamma$
$b=P(b)=\alpha b^2+\beta b+\gamma$
$c=P(c)=\alpha c^2+\beta c+\gamma$
Risolvendo il sistema viene che: $\alpha=0$, $\beta=1$, $\gamma=0$. Quindi $R(x)=x$.
edit: ops, non avevo visto il messaggio di mattteo.
Re: Resto della divisione
Ok, grazie Ora ho capito..
Re: Resto della divisione
A questo punto varrebbe anche la pena di notare che
$\displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}}=x$ (dimostrazione veloce: i due polinomi sono di grado $\leq 2$, e coincidono in $a$, $b$, $c$), quindi a meno di una complicata semplificazione la soluzione originale era giusta.
Comunque, la domanda che Steph fa è "sono riuscito a scrivere $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+mostro(x)$, dove $mostro(x)$ ha grado minore o uguale a 2. Posso concludere che $mostro(x)$ è il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$?". La risposta a questa domanda è "sì, è proprio la definizione di resto della divisione". Però il punto cruciale dell'esercizio è dimostrare che $P(x)$ si può scrivere in quella forma --- probabilmente Steph se ne è già reso conto, ma meglio specificarlo in caso.
$\displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}}=x$ (dimostrazione veloce: i due polinomi sono di grado $\leq 2$, e coincidono in $a$, $b$, $c$), quindi a meno di una complicata semplificazione la soluzione originale era giusta.
Comunque, la domanda che Steph fa è "sono riuscito a scrivere $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+mostro(x)$, dove $mostro(x)$ ha grado minore o uguale a 2. Posso concludere che $mostro(x)$ è il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$?". La risposta a questa domanda è "sì, è proprio la definizione di resto della divisione". Però il punto cruciale dell'esercizio è dimostrare che $P(x)$ si può scrivere in quella forma --- probabilmente Steph se ne è già reso conto, ma meglio specificarlo in caso.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Resto della divisione
Wow, un leggerissimo necroposting! Comunque direi che dato che sai $P(a)-a=P(b)-b=P(c)-c=0$, del polinomio $P(x)-x$ sai già tante cose
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo