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Resto della divisione

Inviato: 01 gen 2012, 23:31
da xXStephXx
Siano $ a $, $ b $, $ c $ tre numeri reali distinti e sia $ P(x) $ un polinomio a coefficienti reali. Sapendo che:
(i) $ P(x) $ diviso per $ (x - a) $ dà resto $ a $;
(ii) $ P(x) $ diviso per $ (x - b) $ dà resto $ b $;
(iii) $ P(x) $ diviso per $ (x- c) $ dà resto $ c $,
determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di
$ P(x) $ per $ (x - a)(x - b)(x - c) $.

Non ho idea di quale sia la soluzione.
Io avevo pensato che il polinomio $ P(x) $ si potesse scrivere come: $ \displaystyle{P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
(nella formula di sopra c'è un'altra parte che viene tagliata fuori con la mia risoluzione che è 1024 di larghezza).

Posso dire che il resto sia questo?
$ \displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
Come polinomio è di secondo grado, quindi minore del terzo grado che ha il divisore (e questa condizione la soddisfa).. Inoltre dovrebbe (salvo condizioni che ho dimenticato) soddisfare anche la (i), (ii) e (iii)..
E' quello il resto? Se sì, come si potrebbe dimostrare?

Re: Resto della divisione

Inviato: 02 gen 2012, 13:32
da mattteo
Considera il polinomio $ P(x)-x $. Questo puoi scriverlo come $ (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) $, da cui il resto è x.

Re: Resto della divisione

Inviato: 02 gen 2012, 13:43
da xXStephXx
In effetti mi sono complicato la vita, non notando la cosa più visibile..
Ed essendo entrambi di grado minore di 3, come stabilisco quale dei due può essere il resto?

Re: Resto della divisione

Inviato: 02 gen 2012, 13:51
da doiug.8
$P(x)=Q_1(x)(x-a)+a$, $P(x)=Q_2(x)(x-b)+b$, $P(x)=Q_3(x)(x-c)+c$. Da cui $P(a)=a$, $P(b)=b$, $P(c)=c$. Poichè $\deg((x-a)(x-b)(x-c))=3$, detto $R(x)$ il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$, $\deg(R(x))\le2$.
Pertanto $R(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ e $P(x)=Q(x)(x-a)(x-b)(x-c)+\alpha x^2+\beta x+\gamma$.
$a=P(a)=\alpha a^2+\beta a+\gamma$
$b=P(b)=\alpha b^2+\beta b+\gamma$
$c=P(c)=\alpha c^2+\beta c+\gamma$
Risolvendo il sistema viene che: $\alpha=0$, $\beta=1$, $\gamma=0$. Quindi $R(x)=x$.

edit: ops, non avevo visto il messaggio di mattteo.

Re: Resto della divisione

Inviato: 02 gen 2012, 14:03
da xXStephXx
Ok, grazie :D Ora ho capito..

Re: Resto della divisione

Inviato: 02 gen 2012, 15:52
da fph
A questo punto varrebbe anche la pena di notare che
$\displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}}=x$ (dimostrazione veloce: i due polinomi sono di grado $\leq 2$, e coincidono in $a$, $b$, $c$), quindi a meno di una complicata semplificazione la soluzione originale era giusta.

Comunque, la domanda che Steph fa è "sono riuscito a scrivere $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+mostro(x)$, dove $mostro(x)$ ha grado minore o uguale a 2. Posso concludere che $mostro(x)$ è il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$?". La risposta a questa domanda è "sì, è proprio la definizione di resto della divisione". Però il punto cruciale dell'esercizio è dimostrare che $P(x)$ si può scrivere in quella forma --- probabilmente Steph se ne è già reso conto, ma meglio specificarlo in caso.

Re: Resto della divisione

Inviato: 13 feb 2018, 09:13
da enzog
mattteo ha scritto:
02 gen 2012, 13:32
Considera il polinomio $ P(x)-x $. Questo puoi scriverlo come $ (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) $, da cui il resto è x.
Da dove nasce l'idea di scrivere proprio P(x)-x, che giustamente è uguale a quello che segue, per cui il resto è x?

Re: Resto della divisione

Inviato: 13 feb 2018, 17:53
da Talete
enzog ha scritto:
13 feb 2018, 09:13
mattteo ha scritto:
02 gen 2012, 13:32
Considera il polinomio $ P(x)-x $. Questo puoi scriverlo come $ (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) $, da cui il resto è x.
Da dove nasce l'idea di scrivere proprio P(x)-x, che giustamente è uguale a quello che segue, per cui il resto è x?
Wow, un leggerissimo necroposting! Comunque direi che dato che sai $P(a)-a=P(b)-b=P(c)-c=0$, del polinomio $P(x)-x$ sai già tante cose