Resto della divisione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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xXStephXx
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Resto della divisione

Messaggio da xXStephXx » 01 gen 2012, 23:31

Siano $ a $, $ b $, $ c $ tre numeri reali distinti e sia $ P(x) $ un polinomio a coefficienti reali. Sapendo che:
(i) $ P(x) $ diviso per $ (x - a) $ dà resto $ a $;
(ii) $ P(x) $ diviso per $ (x - b) $ dà resto $ b $;
(iii) $ P(x) $ diviso per $ (x- c) $ dà resto $ c $,
determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di
$ P(x) $ per $ (x - a)(x - b)(x - c) $.

Non ho idea di quale sia la soluzione.
Io avevo pensato che il polinomio $ P(x) $ si potesse scrivere come: $ \displaystyle{P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
(nella formula di sopra c'è un'altra parte che viene tagliata fuori con la mia risoluzione che è 1024 di larghezza).

Posso dire che il resto sia questo?
$ \displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}} $
Come polinomio è di secondo grado, quindi minore del terzo grado che ha il divisore (e questa condizione la soddisfa).. Inoltre dovrebbe (salvo condizioni che ho dimenticato) soddisfare anche la (i), (ii) e (iii)..
E' quello il resto? Se sì, come si potrebbe dimostrare?

mattteo
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Re: Resto della divisione

Messaggio da mattteo » 02 gen 2012, 13:32

Considera il polinomio $ P(x)-x $. Questo puoi scriverlo come $ (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) $, da cui il resto è x.

xXStephXx
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Re: Resto della divisione

Messaggio da xXStephXx » 02 gen 2012, 13:43

In effetti mi sono complicato la vita, non notando la cosa più visibile..
Ed essendo entrambi di grado minore di 3, come stabilisco quale dei due può essere il resto?

doiug.8
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Re: Resto della divisione

Messaggio da doiug.8 » 02 gen 2012, 13:51

$P(x)=Q_1(x)(x-a)+a$, $P(x)=Q_2(x)(x-b)+b$, $P(x)=Q_3(x)(x-c)+c$. Da cui $P(a)=a$, $P(b)=b$, $P(c)=c$. Poichè $\deg((x-a)(x-b)(x-c))=3$, detto $R(x)$ il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$, $\deg(R(x))\le2$.
Pertanto $R(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ e $P(x)=Q(x)(x-a)(x-b)(x-c)+\alpha x^2+\beta x+\gamma$.
$a=P(a)=\alpha a^2+\beta a+\gamma$
$b=P(b)=\alpha b^2+\beta b+\gamma$
$c=P(c)=\alpha c^2+\beta c+\gamma$
Risolvendo il sistema viene che: $\alpha=0$, $\beta=1$, $\gamma=0$. Quindi $R(x)=x$.

edit: ops, non avevo visto il messaggio di mattteo.

xXStephXx
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Re: Resto della divisione

Messaggio da xXStephXx » 02 gen 2012, 14:03

Ok, grazie :D Ora ho capito..

fph
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Re: Resto della divisione

Messaggio da fph » 02 gen 2012, 15:52

A questo punto varrebbe anche la pena di notare che
$\displaystyle{(x-a)(x-b)\frac{c}{(c-a)(c-b)}+(x-a)(x-c)\frac{b}{(b-a)(b-c)} +(x-b)(x-c)\frac{a}{(a-b)(a-c)}}=x$ (dimostrazione veloce: i due polinomi sono di grado $\leq 2$, e coincidono in $a$, $b$, $c$), quindi a meno di una complicata semplificazione la soluzione originale era giusta.

Comunque, la domanda che Steph fa è "sono riuscito a scrivere $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+mostro(x)$, dove $mostro(x)$ ha grado minore o uguale a 2. Posso concludere che $mostro(x)$ è il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$?". La risposta a questa domanda è "sì, è proprio la definizione di resto della divisione". Però il punto cruciale dell'esercizio è dimostrare che $P(x)$ si può scrivere in quella forma --- probabilmente Steph se ne è già reso conto, ma meglio specificarlo in caso.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

enzog
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Re: Resto della divisione

Messaggio da enzog » 13 feb 2018, 09:13

mattteo ha scritto:
02 gen 2012, 13:32
Considera il polinomio $ P(x)-x $. Questo puoi scriverlo come $ (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) $, da cui il resto è x.
Da dove nasce l'idea di scrivere proprio P(x)-x, che giustamente è uguale a quello che segue, per cui il resto è x?

Talete
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Re: Resto della divisione

Messaggio da Talete » 13 feb 2018, 17:53

enzog ha scritto:
13 feb 2018, 09:13
mattteo ha scritto:
02 gen 2012, 13:32
Considera il polinomio $ P(x)-x $. Questo puoi scriverlo come $ (x-a)(x-b)(x-c)Q(x) $, da cui il resto è x.
Da dove nasce l'idea di scrivere proprio P(x)-x, che giustamente è uguale a quello che segue, per cui il resto è x?
Wow, un leggerissimo necroposting! Comunque direi che dato che sai $P(a)-a=P(b)-b=P(c)-c=0$, del polinomio $P(x)-x$ sai già tante cose
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