Uguaglianza di frazioni

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mike
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Uguaglianza di frazioni

Messaggio da Mike » 17 dic 2011, 19:57

Provare che, se

$ \displaystyle\frac{ac - b^2}{a-2b+c} = \frac{bd-c^2}{b - 2c+ d} $

allora ambedue le frazioni sono uguali a

$ \displaystyle\frac{ad-bc}{a-b-c+d} $

Sonner
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Re: Uguaglianza di frazioni

Messaggio da Sonner » 25 dic 2011, 18:56

Le variabili sono anche distinte vero? Se sì, ho una soluzione, altrimenti ho il controesempio (1,3,3,7) :P

Mike
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Re: Uguaglianza di frazioni

Messaggio da Mike » 25 dic 2011, 20:58

E' vero, si suppone che b e c siano diversi.

Sonner
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Re: Uguaglianza di frazioni

Messaggio da Sonner » 26 dic 2011, 17:27

Allora la scrivo. Intanto $\frac{A}{B}=\frac{C}{D} \iff \frac{A+C}{B+D}=\frac{C}{D}$, quindi sommando le due frazioni ottengo che la tesi è equivalente a $b^2+c^2+ad-bc-ac-bd=0$. D'altra parte, se faccio denominatore comune nell'ipotesi e raccolgo decentemente (vi risparmio i conti che non presentano particolari difficoltà) trovo proprio $(b-c)(b^2+c^2+ad-ac-bd-bc)=0$.

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