Radici da massimizzare e minimizzare

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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razorbeard
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Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da razorbeard » 15 dic 2011, 20:07

Sapendo che $a+b+c=1$ trovare massimo e minimo di $\sqrt a+ \sqrt b + \sqrt c$
E' un buon giorno... per morire

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jordan
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da jordan » 15 dic 2011, 22:04

Mi pare che la funzione da ottimizzare non e' manco definita se una o più variabili e' negativa..
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Hawk
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da Hawk » 15 dic 2011, 23:22

Bé se c'è la radice quadrata, vuol dire che si suppone $ a\geq0 $, $ b\geq 0 $, $ c\geq 0 $.
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karlsson_sul_tetto
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da karlsson_sul_tetto » 16 dic 2011, 11:48

Testo nascosto:
Dimostro per induzione (o almeno credo sia per induzione)
Poiche la radice di un numero $ 0<a<1 $ sarà maggiore del numero, si possono fare varie conclusioni
Quando $ a=1, b=c=0 $ , si vede che il risultato è il minimo perchè non c'è nessun numero compreso tra 1 e 0.
Quando $ a=b=c= \frac{1}{3} $, sia il massimo cio[ qualcosa poco più grande di 1,6
Questi sono le due cime della funzione perchè in un caso sono tutte ugualila differenza è minima(0), mentre nell'altro è massima (1)

Hawk
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da Hawk » 16 dic 2011, 14:15

Sto da poco studiando le disuguaglianze quindi c'è il rischio altissimo di dire cavolate. Provo a trovare il massimo.
Per la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica ho $ \displaystyle\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{3}\leq \sqrt{\displaystyle\frac{a+b+c}{3}} $ cioè $ \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \leq 3\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}}=\sqrt3 $, quindi il massimo valore se quello che scrivo è giusto deve essere $ \sqrt3 $.
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NoAnni
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da NoAnni » 16 dic 2011, 14:29

Hawk ha scritto:Sto da poco studiando le disuguaglianze quindi c'è il rischio altissimo di dire cavolate. Provo a trovare il massimo.
Per la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica ho $ \displaystyle\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{3}\leq \sqrt{\displaystyle\frac{a+b+c}{3}} $ cioè $ \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \leq 3\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}}=\sqrt3 $, quindi il massimo valore se quello che scrivo è giusto deve essere $ \sqrt3 $.
E' giusto :D
Che ne dici di risolverlo anche con Cauchy-Schwarz per esercizio?
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Hawk
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da Hawk » 16 dic 2011, 14:50

Ti ringrazio :D !
Allora le triple su cui applico la disuguaglianza sono $ (\sqrt a, \sqrt b. \sqrt c,);(1,1,1) $.
Quindi per Cauchy-Schwarz ottengo $ (\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)^2 \leq 3 $ quindi per massimizzare $ \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c= \sqrt3 $.
Va bene anche questa?
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da Omar93 » 16 dic 2011, 17:01

Potresti anche usar riarrangiamento,dato che puoi dire a maggiore o uguale a b ecc....
$ 2^{43 112 609} - 1 $

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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da Tess » 16 dic 2011, 18:28

Ormai che ci siamo, diciamo di usare anche Jensen!
Ma quello che non pare sia stato dimostrato bene è il minimo...

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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da karlsson_sul_tetto » 16 dic 2011, 18:40

Tess ha scritto:Ma quello che non pare sia stato dimostrato bene è il minimo...
(Dovrei modificare il mio post ma vabbè)
Presupponiamo che ci siano almeno due numeri compresi tra 1 e 0. La loro radice sarà più grande di loro, quindi se la somma è 1, la somma delle radici sarà maggiore di 1. Invece nel caso che a=1 e b=c=0 si ha che la somma sia esattamente 1.
Mi pare che vada bene :)

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razorbeard
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da razorbeard » 16 dic 2011, 19:31

Ne piazzo allora uno molto simile...trovare il massimo e il minimo di $\sqrt {a^3}+ \sqrt {b^3} +\sqrt {c^3}$
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jordan
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Re: Radici da massimizzare e minimizzare

Messaggio da jordan » 17 dic 2011, 01:42

Per ogni $0<p<1<q$ reali e $a_1,\ldots,a_n$ non negativi a somma unitaria vale:

$\displaystyle n^{1-q}= n\left(\frac{1}{n}\sum_{1\le i\le n}{a_i} \right)^q \le \sum_{1\le i\le n}{a_i^q} \le \sum_{1\le i\le n}{a_i}=$$\displaystyle 1=\sum_{1\le i\le n}{a_i} \le \sum_{1\le i\le n}{a_i^p} \le n\left(\frac{1}{n}\sum_{1\le i\le n}{a_i} \right)^p=n^{1-p}$
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