SNS '74-'75, 1

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
fraboz
Messaggi: 90
Iscritto il: 09 giu 2010, 21:24
Località: reggio emilia

SNS '74-'75, 1

Messaggio da fraboz » 10 dic 2011, 16:27

Determinare i valori di $ a $ per cui l'equazione $ 2^{cosx+sinx}=a $ ammette soluzioni.


p.s. non sono in possesso della soluzione ufficiale

Claudio.
Messaggi: 695
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: SNS '74-'75, 1

Messaggio da Claudio. » 10 dic 2011, 17:21

è abbastanza scolastico.
Massimizziamo e minimizziamo $\cos x+\sin{x}$ (che è una funzione continua) e troviamo $-\sqrt2\le\cos x+\sin x\le \sqrt2$.
Quindi $2^{-\sqrt2}\le a\le 2^{\sqrt2}$

EDIT: non c'è in realtà bisogno di usare alcun logaritmo

Forse c'è qualche modo di massimizzare senza derivate, comunque se si usano i logairtmi e le parametriche si dovrebbe arrivare anche alla soluzione, non so quanto sia contoso però :?

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: SNS '74-'75, 1

Messaggio da Mist » 10 dic 2011, 18:06

Per massimizzare $\cos{x}+\sin{x}$ basta usare una AM-QM :P
$$\displaystyle \frac{\cos{x}+\sin{x}}{2} \leq \sqrt{\frac{\cos{(x)}^2+\sin{(x)}^2}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos{x}+\sin{x} \leq \sqrt{2}$$

E la soluzione da qui si trova facilmente ricordando che le disuguaglianze tra medie diventano uguaglianze quando gli elementi della media sono uguali tra di loro, in questo caso quindi quando $\sin{x} = \cos{x}$, che è facile... A che soluzione ti riferivi ?
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Claudio.
Messaggi: 695
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: SNS '74-'75, 1

Messaggio da Claudio. » 10 dic 2011, 18:37

Mist ha scritto: che soluzione ti riferivi ?
è riferito a me?
Se si intedevo quella di applicare i logaritmi in base 2, riconducendosi ad una lineare goniometrica, risolverla e poi porre le condizioni di esistenza in a. saranno una marea di conti.
Comunque ero sicuro che si massimizzasse con qualche media, ma non ci avevo provato dato che con la derivata si faceva a mente, effettivamente era immediata

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: SNS '74-'75, 1

Messaggio da jordan » 11 dic 2011, 03:09

$\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\left(\sin(x+\frac{\pi}{4})\right)$ :roll:
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Rispondi