Serie non troppo piccola

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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ale.G
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Serie non troppo piccola

Messaggio da ale.G » 08 dic 2011, 19:34

Su una lavagna sono scritti i numeri $x_1,x_2,x_3,...,x_{100}$ e sappiamo che $x_1=\frac{1}{2}$, e per ogni $n=1,2,...,99$ si ha che $x_{n+1}=1-x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_{100}$.
Dimostrare che $x_{100}>0.99$
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Mist
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da Mist » 08 dic 2011, 23:48

Per prima cosa, parto da delle mie supposizioni sul testo: Intendevi dire cioè che $\displaystyle x_{n+1} = 1-\prod_{j=1}^{n}x_j$. Assunto che io abbia capito giusto, posso dire che:

Siccome per ipotesi $\displaystyle \prod_{j=1}^{n-1}x_j = 1-x_{n}$, allora $x_{n+1} = 1-(1-x_{n})x_{n} = 1-x_{n}+x_{n}^2$. Detto questo, dimostro per induzione che $\displaystyle x_{n} >1-\frac{1}{n}$ per $n\geq 3$. Per $n=3$, siccome $\displaystyle x_{3}= \frac{3}{4}$, la tesi è vera. Dimostro che il fatto che la tesi sia vera per un generico $n$, implica che sia vera anche per $n+1$. Quindi, posto per vero che per un generico $n$ sia vero che $\displaystyle x_{n} >1-\frac{1}{n}$, la mia tesi si riduce a dimostra che $\displaystyle x_{n+1} = x_{n}^2-x_{n}+1 > 1-\frac{1}{n+1}$ Questo vale, si dimostra facilmente, $\displaystyle \forall \quad x_{n} > \frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{n-3}{n+1}}+1 \right)$.Il problema si riduce quindi a dimostrare che tale disuguaglianza, data quella di ipotesi, è sempre vera. Noto ora che siccome (si dimostra facilmente) $\displaystyle \forall \quad n \in \mathbb{N}: n \geq 3, \quad 1-\frac{1}{n}> \frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{n-3}{n+1}}+1 \right)$ e per ipotesi $\displaystyle x_{n} >1-\frac{1}{n}$, si ha che per ogni n intero maggiore di tre vale che $\displaystyle x_{n}>1-\frac{1}{n}> \frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{n-3}{n+1}}+1 \right)$ Quindi la tesi risulta dimostrata.
Ultima modifica di Mist il 11 dic 2011, 17:36, modificato 1 volta in totale.
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ale.G
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da ale.G » 09 dic 2011, 18:53

Eppure il testo non l'ho trascritto male, dice proprio $\displaystyle x_{n+1} = 1-\prod_{j=1}^{100}x_j$
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da jordan » 11 dic 2011, 03:13

ale.G ha scritto:Eppure il testo non l'ho trascritto male, dice proprio $\displaystyle x_{n+1} = 1-\prod_{j=1}^{100}x_j$
Che non ha molto senso..
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da ale.G » 11 dic 2011, 09:38

Ecco...il problema è il 4° di questa pagina....
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... d25038e979
cosa ho sbagliato a tradurre???
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da NoAnni » 11 dic 2011, 10:40

ale.G ha scritto:Ecco...il problema è il 4° di questa pagina....
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... d25038e979
cosa ho sbagliato a tradurre???
Hanno semplicemente sbagliato a scrivere
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da kalu » 11 dic 2011, 13:33

Mist ha scritto:la mia tesi si riduce a dimostrare che $\displaystyle x_{n+1} = x_{n}^2-x_{n}+1 > \frac{1}{n+1}$
Volevi dire $\displaystyle x_{n+1} = x_{n}^2-x_{n}+1 >1- \frac{1}{n+1}$ ;)
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da Mist » 11 dic 2011, 17:36

Sisi, certo, ora edito, grazie mille per la segnalazione :D
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Re: Serie non troppo piccola

Messaggio da ndp15 » 12 dic 2011, 21:04

Comunque a titolo informativo e per farvi migliorare nel mettere i titoli: questo non ha nulla a che fare con una serie.

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