La sequenza che massimizza $\sum{x^{-1}}<1$

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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La sequenza che massimizza $\sum{x^{-1}}<1$

Messaggio da jordan » 03 dic 2011, 09:03

Sia definita la sequenza $x_1:=2, \displaystyle x_{n+1}:=1+\prod_{1\le i\le n}{x_i}$ per ogni $n>0$.

Sia data una sequenza $a_1, a_2, \ldots, a_n$ di interi positivi tali che $\displaystyle \sum_{1\le i\le n}{a_i^{-1}}<1$.

Dimostrare che $\displaystyle \sum_{1\le i\le n}{a_i^{-1}}\le \sum_{1\le i\le n}{x_i^{-1}}<1$.
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Eleven
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Re: La sequenza che massimizza $\sum{x^{-1}}<1$

Messaggio da Eleven » 25 gen 2012, 19:18

Visto che nessuno ti ha risposto ci provo io.

Siano $ \displaystyle P_n = \prod_{i=1}^n x_i, S_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} $. E' facile vedere che $ P_{n+1}=P^2_n+P_n $. Mostriamo per induzione che $ S_n = 1 - \dfrac{1}{P_n} $. Per $ n=1 $ è banale. Supposto che la relazione valga per $ n $, si ha $ S_{n+1} = 1 - \dfrac{1}{P_n} + \dfrac{1}{x_{n+1}} = 1 - \dfrac{1}{P_n} + \dfrac{1}{P_n+1} = 1 - \dfrac{1}{P_n(P_n+1)} = 1 - \dfrac{1}{P_{n+1}} $ come volevamo. Ne segue che $ S_n < 1 $. Per l'altra disuguaglianza, se fosse $ \displaystyle S_n < \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i} $ si avrebbe $ \displaystyle \min \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{a_i} \geq S_{n-1}+\dfrac{1}{x_n-1} = S_{n-1}+\dfrac{1}{P_{n-1}} = 1 $, contro le ipotesi.

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