Successione limitata

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Mist
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Successione limitata

Messaggio da Mist » 29 ott 2011, 12:34

Sia $x_1=2$, $\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n^4+1}{5x_n}$. Dimostrare che $\displaystyle \frac{1}{5} \leq x_n < 2$ per ogni $n>1$
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"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

amatrix92
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Re: Successione limitata

Messaggio da amatrix92 » 29 ott 2011, 21:00

Penso tu volessi scrivere $ \frac{1}{5} < x_n \leq 2 $ in ogni caso per assurdo $ \frac{x_n ^4 + 1}{5x_n} < \frac{1}{5} \iff x_n > x_n^4 +1 $ ma, se $ x_n<1 $ chiramente $ x_n< 1+ x^4 $ se $ x_n>1 $ allora $ x_n< x_n^4 \implies x_n< x_n^4 +1 $. per quanto riguarda la limitazione superiore non mi sembra difficile ma ho trovato solo una soluzione brutta e piuttosto calcolosa, aspetto se qualcuno trova qualcosa di elegante sennò la metto.
Metto in compenso alcuni Bonus non difficili (scrivo accanto se li ho risolti o meno per evitare di mandarvi incontro a cose che poi si rivelano essere congetture aperte xD)

Bonus 1: a quanto tende $ x_n $? (facile)

Bonus 2: tra quali valori può variarire $ x_1 $ affinchè il risultato non cambi ? (il superiroe è semplice, l'inferiore mi è venuto calcoloso (edit: in realtà più che calcoloso è proprio da calcolatore, se volete scrivete solo come trovarlo ))

Bonus 3: la stima di 1/5 con estremo inferiore si può chiaramente migliorare. quanto vale $ \inf \{ x_i \} $ in funzione di $ x_1 $? (non ancora risolto)
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: Successione limitata

Messaggio da patatone » 30 ott 2011, 14:36

per quanto riguarda il bonus 1... ok che sapendo che il limite esiste trovarlo è facile, ma tu come hai fatto a dimostrare che la successione converge ?

amatrix92
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Re: Successione limitata

Messaggio da amatrix92 » 31 ott 2011, 11:44

Ok scusate efftivamente il dimostrare che il limite esite non mi sembra essere banale.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: Successione limitata

Messaggio da fph » 31 ott 2011, 12:38

Beh, provateci ma se proprio siete incastrati fatevi vivi, il modo dovrebbe esserci... queste ricorrenze del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$, con $f$ almeno $C^1$, si fanno tutte più o meno con le stesse tecniche (warning: potrebbero servire un po' di derivate qua e là).
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Re: Successione limitata

Messaggio da amatrix92 » 02 nov 2011, 21:16

Scriviamo i primi termini della successione per capire come funziona

$ x_1 = 2 $
$ x_2 = 1,7 $
$ x_3 = 1,1002... $
$ x_4 = 0,4481... $
$ x_5 = 0,4642... $
$ x_6 = 0,4507... $
$ x_7 = 0,4619... $

Ipotizziamo esista il limite. Se esiste, dovrà essere soluzione dell'equazione $ x_n = f(x_n) $ con $ \frac {1}{5} > x_n \leq 2 $. Si trova la biquadratica $ {x_n^4-5x_n^2+1=0} $ da cui l'unica soluzione nel nostro intervallo è $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \simeq 0,45685 $.
Notiamo che tutti i termini dispari della nostra successione sono maggiori del limite e sono descrescenti, proviamo a dimostrarlo.
Considero la sottosuccessione $ x_{2n+1} $ e voglio dimostrare che è $ \geq x_{2n+3} $ che a sua volta è $ \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ .
Dimostraimo prima la prima disuguaglianza sostituendo per comodità $ x $ a $ x_{2n+1} $ . E' dunque da dimostrare che $ \displaystyle x \geq f (f(x)) \iff x\geq \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \iff x^4 +1 \geq (\frac{x^4+1}{5x}) +1 \iff x^4-5x^2+1 \leq 0 $ che per l'intervallo che ci interessa da come valori buoni $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \leq x \leq \displaystyle \sqrt {\frac{5+ \sqrt {21}}{2} } > 2 $ . Quindi basta dimostrare la seconda disuguaglianza di sopra e lo faccio per induzione
$ x_1=2 $ e va bene
Supponiamo che $ x_{2n+1} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ voglio dimostrare che $ x_{2n+3} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ come prima sostituisco $ x $ al posto di $ x_{2n+1} $ e ho $ \displaystyle \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . Dove $ \displaystyle LHS = {\displaystyle \frac{1}{5 }\cdot (\frac {x^4+1}{5x} })^3 + \frac {x}{x^4+1} $ . La derivata del primo membro (chiamiamolo g(x) )si può fattorizzare come $ \displaystyle \frac{3 ( x^4+1)^2 ( 3x^4-1)}{625 x^4 } $ da cui essendo tutti i termini tranne uno sempre positivo si può concludere che nell'intervallo cercato il punto in cui si annulla la derivata , cioè $ \frac{1}{\sqrt[4] 3} $ è un minimo. Per quanto riguarda il secondo membro (chiamiamolo h(x) ) la derivata è$ \frac{ 1-4x^3}{(x^4+1)^2} $ ciò che ci interessa è che nell'intervallo $ \displaystyle [ 0 , \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ la derivata è positiva e la funzione è crescente. Sfruttiamo ora l'ipotesi induttiva che ci dice che $ x \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . e ci calcoliamo $ h( \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} }) \simeq 0,43778 $ (approssimato per difetto). Sappiamo quindi che il LHS totale nell 'intervallo $ \displaystyle [0, \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ è $ \geq \frac{1}{\sqrt [4] 3} $ (poichè è minimo)$ + $ $ 0,43778 $ ( poichè funzione è crescente) $ \simeq 1,197 $. Quindi per $ x< \frac{1}{\sqrt [4] 3} \simeq 0,759 $ siamo apposto, ma per i valori maggiori non ci interessa poichè sappiamo che $ x_5 = 0,4642 $ e che la sottosuccessione è decrescente per tutti i valori maggiori del limite (dimostrato su).

Quindi si conclude dicendo che essendo una sottosuccessione monotòna descrescente, questa ammette limite e tale limite è proprio $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $.

A questo punto andrebbe fatto un ragionamento analogo per la sottosuccessione degli indici pari, partendo questa volta da $ x_4 $ e dimostrando che è monotòna crescente che quindi anch'essa ammetterà limite... il limite sarà lo stesso e dunque i limite della successione sarà quello.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: Successione limitata

Messaggio da dario2994 » 04 nov 2011, 14:50

fph ha scritto:Beh, provateci ma se proprio siete incastrati fatevi vivi, il modo dovrebbe esserci... queste ricorrenze del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$, con $f$ almeno $C^1$, si fanno tutte più o meno con le stesse tecniche (warning: potrebbero servire un po' di derivate qua e là).
Questo mi ha ispirato :)
viewtopic.php?f=13&t=16426

Piazzo nascosto quello che ho trovato (non sul problema di questo thread ma sul caso generale):
Testo nascosto:
Sono riuscito a dire che se $|f'(x)|<1$ e $f(x)=x$ allora c'è un intorno di $x$ tale che se la successione ci finisce poi converge ad $x$.
Sono riuscito a dire che se vale $|f'(x)|>1$ o $f(x)\not=x$ allora l'unico modo che ha la successione di convergerci è andarci proprio a finire sopra, quindi essere definitivamente costante.
Poi se vale $f(x)=x$ e $|f'(x)|=1$ allora è più casinara la cosa... perchè bisogna vedere la derivata destra e sinistra... questo è più mistico e meno interessante dato che non è detto che sia un possibile punto di convergenza ma può esserlo (ho trovato funzioni per cui lo un tale $x$ lo è e altre per cui non lo è)

Ho segato tutto? Ho detto tutto? Ho detto banalità? Le tecniche di cui parlavi hanno a che fare con "c'è un intorno di $x$ tale che se la successione ci finisce poi converge ad $x$"... insomma trovo i vari punti possibili di convergenza e poi controllo la successione da quale viene "attratta"?
EDIT: WOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO ho detto giusto :D (controllato su wiki )
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

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Re: Successione limitata

Messaggio da paga92aren » 04 nov 2011, 16:05

$\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$

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