Successione limitata
Successione limitata
Sia $x_1=2$, $\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n^4+1}{5x_n}$. Dimostrare che $\displaystyle \frac{1}{5} \leq x_n < 2$ per ogni $n>1$
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Successione limitata
Penso tu volessi scrivere $ \frac{1}{5} < x_n \leq 2 $ in ogni caso per assurdo $ \frac{x_n ^4 + 1}{5x_n} < \frac{1}{5} \iff x_n > x_n^4 +1 $ ma, se $ x_n<1 $ chiramente $ x_n< 1+ x^4 $ se $ x_n>1 $ allora $ x_n< x_n^4 \implies x_n< x_n^4 +1 $. per quanto riguarda la limitazione superiore non mi sembra difficile ma ho trovato solo una soluzione brutta e piuttosto calcolosa, aspetto se qualcuno trova qualcosa di elegante sennò la metto.
Metto in compenso alcuni Bonus non difficili (scrivo accanto se li ho risolti o meno per evitare di mandarvi incontro a cose che poi si rivelano essere congetture aperte xD)
Bonus 1: a quanto tende $ x_n $? (facile)
Bonus 2: tra quali valori può variarire $ x_1 $ affinchè il risultato non cambi ? (il superiroe è semplice, l'inferiore mi è venuto calcoloso (edit: in realtà più che calcoloso è proprio da calcolatore, se volete scrivete solo come trovarlo ))
Bonus 3: la stima di 1/5 con estremo inferiore si può chiaramente migliorare. quanto vale $ \inf \{ x_i \} $ in funzione di $ x_1 $? (non ancora risolto)
Metto in compenso alcuni Bonus non difficili (scrivo accanto se li ho risolti o meno per evitare di mandarvi incontro a cose che poi si rivelano essere congetture aperte xD)
Bonus 1: a quanto tende $ x_n $? (facile)
Bonus 2: tra quali valori può variarire $ x_1 $ affinchè il risultato non cambi ? (il superiroe è semplice, l'inferiore mi è venuto calcoloso (edit: in realtà più che calcoloso è proprio da calcolatore, se volete scrivete solo come trovarlo ))
Bonus 3: la stima di 1/5 con estremo inferiore si può chiaramente migliorare. quanto vale $ \inf \{ x_i \} $ in funzione di $ x_1 $? (non ancora risolto)
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Successione limitata
per quanto riguarda il bonus 1... ok che sapendo che il limite esiste trovarlo è facile, ma tu come hai fatto a dimostrare che la successione converge ?
Re: Successione limitata
Ok scusate efftivamente il dimostrare che il limite esite non mi sembra essere banale.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Successione limitata
Beh, provateci ma se proprio siete incastrati fatevi vivi, il modo dovrebbe esserci... queste ricorrenze del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$, con $f$ almeno $C^1$, si fanno tutte più o meno con le stesse tecniche (warning: potrebbero servire un po' di derivate qua e là).
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Successione limitata
Scriviamo i primi termini della successione per capire come funziona
$ x_1 = 2 $
$ x_2 = 1,7 $
$ x_3 = 1,1002... $
$ x_4 = 0,4481... $
$ x_5 = 0,4642... $
$ x_6 = 0,4507... $
$ x_7 = 0,4619... $
Ipotizziamo esista il limite. Se esiste, dovrà essere soluzione dell'equazione $ x_n = f(x_n) $ con $ \frac {1}{5} > x_n \leq 2 $. Si trova la biquadratica $ {x_n^4-5x_n^2+1=0} $ da cui l'unica soluzione nel nostro intervallo è $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \simeq 0,45685 $.
Notiamo che tutti i termini dispari della nostra successione sono maggiori del limite e sono descrescenti, proviamo a dimostrarlo.
Considero la sottosuccessione $ x_{2n+1} $ e voglio dimostrare che è $ \geq x_{2n+3} $ che a sua volta è $ \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ .
Dimostraimo prima la prima disuguaglianza sostituendo per comodità $ x $ a $ x_{2n+1} $ . E' dunque da dimostrare che $ \displaystyle x \geq f (f(x)) \iff x\geq \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \iff x^4 +1 \geq (\frac{x^4+1}{5x}) +1 \iff x^4-5x^2+1 \leq 0 $ che per l'intervallo che ci interessa da come valori buoni $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \leq x \leq \displaystyle \sqrt {\frac{5+ \sqrt {21}}{2} } > 2 $ . Quindi basta dimostrare la seconda disuguaglianza di sopra e lo faccio per induzione
$ x_1=2 $ e va bene
Supponiamo che $ x_{2n+1} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ voglio dimostrare che $ x_{2n+3} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ come prima sostituisco $ x $ al posto di $ x_{2n+1} $ e ho $ \displaystyle \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . Dove $ \displaystyle LHS = {\displaystyle \frac{1}{5 }\cdot (\frac {x^4+1}{5x} })^3 + \frac {x}{x^4+1} $ . La derivata del primo membro (chiamiamolo g(x) )si può fattorizzare come $ \displaystyle \frac{3 ( x^4+1)^2 ( 3x^4-1)}{625 x^4 } $ da cui essendo tutti i termini tranne uno sempre positivo si può concludere che nell'intervallo cercato il punto in cui si annulla la derivata , cioè $ \frac{1}{\sqrt[4] 3} $ è un minimo. Per quanto riguarda il secondo membro (chiamiamolo h(x) ) la derivata è$ \frac{ 1-4x^3}{(x^4+1)^2} $ ciò che ci interessa è che nell'intervallo $ \displaystyle [ 0 , \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ la derivata è positiva e la funzione è crescente. Sfruttiamo ora l'ipotesi induttiva che ci dice che $ x \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . e ci calcoliamo $ h( \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} }) \simeq 0,43778 $ (approssimato per difetto). Sappiamo quindi che il LHS totale nell 'intervallo $ \displaystyle [0, \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ è $ \geq \frac{1}{\sqrt [4] 3} $ (poichè è minimo)$ + $ $ 0,43778 $ ( poichè funzione è crescente) $ \simeq 1,197 $. Quindi per $ x< \frac{1}{\sqrt [4] 3} \simeq 0,759 $ siamo apposto, ma per i valori maggiori non ci interessa poichè sappiamo che $ x_5 = 0,4642 $ e che la sottosuccessione è decrescente per tutti i valori maggiori del limite (dimostrato su).
Quindi si conclude dicendo che essendo una sottosuccessione monotòna descrescente, questa ammette limite e tale limite è proprio $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $.
A questo punto andrebbe fatto un ragionamento analogo per la sottosuccessione degli indici pari, partendo questa volta da $ x_4 $ e dimostrando che è monotòna crescente che quindi anch'essa ammetterà limite... il limite sarà lo stesso e dunque i limite della successione sarà quello.
$ x_1 = 2 $
$ x_2 = 1,7 $
$ x_3 = 1,1002... $
$ x_4 = 0,4481... $
$ x_5 = 0,4642... $
$ x_6 = 0,4507... $
$ x_7 = 0,4619... $
Ipotizziamo esista il limite. Se esiste, dovrà essere soluzione dell'equazione $ x_n = f(x_n) $ con $ \frac {1}{5} > x_n \leq 2 $. Si trova la biquadratica $ {x_n^4-5x_n^2+1=0} $ da cui l'unica soluzione nel nostro intervallo è $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \simeq 0,45685 $.
Notiamo che tutti i termini dispari della nostra successione sono maggiori del limite e sono descrescenti, proviamo a dimostrarlo.
Considero la sottosuccessione $ x_{2n+1} $ e voglio dimostrare che è $ \geq x_{2n+3} $ che a sua volta è $ \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ .
Dimostraimo prima la prima disuguaglianza sostituendo per comodità $ x $ a $ x_{2n+1} $ . E' dunque da dimostrare che $ \displaystyle x \geq f (f(x)) \iff x\geq \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \iff x^4 +1 \geq (\frac{x^4+1}{5x}) +1 \iff x^4-5x^2+1 \leq 0 $ che per l'intervallo che ci interessa da come valori buoni $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } \leq x \leq \displaystyle \sqrt {\frac{5+ \sqrt {21}}{2} } > 2 $ . Quindi basta dimostrare la seconda disuguaglianza di sopra e lo faccio per induzione
$ x_1=2 $ e va bene
Supponiamo che $ x_{2n+1} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ voglio dimostrare che $ x_{2n+3} \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ come prima sostituisco $ x $ al posto di $ x_{2n+1} $ e ho $ \displaystyle \frac {( \frac {x^4+1}{5x} ) ^4 + 1 }{5 \cdot \frac{x^4+1}{5x} } \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . Dove $ \displaystyle LHS = {\displaystyle \frac{1}{5 }\cdot (\frac {x^4+1}{5x} })^3 + \frac {x}{x^4+1} $ . La derivata del primo membro (chiamiamolo g(x) )si può fattorizzare come $ \displaystyle \frac{3 ( x^4+1)^2 ( 3x^4-1)}{625 x^4 } $ da cui essendo tutti i termini tranne uno sempre positivo si può concludere che nell'intervallo cercato il punto in cui si annulla la derivata , cioè $ \frac{1}{\sqrt[4] 3} $ è un minimo. Per quanto riguarda il secondo membro (chiamiamolo h(x) ) la derivata è$ \frac{ 1-4x^3}{(x^4+1)^2} $ ciò che ci interessa è che nell'intervallo $ \displaystyle [ 0 , \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ la derivata è positiva e la funzione è crescente. Sfruttiamo ora l'ipotesi induttiva che ci dice che $ x \geq \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $ . e ci calcoliamo $ h( \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} }) \simeq 0,43778 $ (approssimato per difetto). Sappiamo quindi che il LHS totale nell 'intervallo $ \displaystyle [0, \frac{1}{\sqrt [4] 3} ] $ è $ \geq \frac{1}{\sqrt [4] 3} $ (poichè è minimo)$ + $ $ 0,43778 $ ( poichè funzione è crescente) $ \simeq 1,197 $. Quindi per $ x< \frac{1}{\sqrt [4] 3} \simeq 0,759 $ siamo apposto, ma per i valori maggiori non ci interessa poichè sappiamo che $ x_5 = 0,4642 $ e che la sottosuccessione è decrescente per tutti i valori maggiori del limite (dimostrato su).
Quindi si conclude dicendo che essendo una sottosuccessione monotòna descrescente, questa ammette limite e tale limite è proprio $ \displaystyle \sqrt {\frac{5- \sqrt {21}}{2} } $.
A questo punto andrebbe fatto un ragionamento analogo per la sottosuccessione degli indici pari, partendo questa volta da $ x_4 $ e dimostrando che è monotòna crescente che quindi anch'essa ammetterà limite... il limite sarà lo stesso e dunque i limite della successione sarà quello.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Successione limitata
Questo mi ha ispiratofph ha scritto:Beh, provateci ma se proprio siete incastrati fatevi vivi, il modo dovrebbe esserci... queste ricorrenze del tipo $x_{n+1}=f(x_n)$, con $f$ almeno $C^1$, si fanno tutte più o meno con le stesse tecniche (warning: potrebbero servire un po' di derivate qua e là).
viewtopic.php?f=13&t=16426
Piazzo nascosto quello che ho trovato (non sul problema di questo thread ma sul caso generale):
Testo nascosto:
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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- Iscritto il: 31 lug 2010, 10:35
Re: Successione limitata
$\sqrt{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$