Disuguaglianza tra naturali

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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amatrix92
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Disuguaglianza tra naturali

Messaggio da amatrix92 » 16 ott 2011, 22:14

Dimostrare che $ \displaystyle ( 1+ \frac{1}{n} ) ^n \leq 3 - \frac{1}{n} $ $ \forall n \in \mathbb N $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

mattteo
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Re: Disuguaglianza tra naturali

Messaggio da mattteo » 20 ott 2011, 18:21

Uso un metodo un po' strano e poco olimpico:
se $ n=<4 $ allora sostituendo è sempre vero.
Se $ n>4 $ allora $ {(1+1/n)}^n<e<11/4<3-1/n $, dove e è $ (1+1/n)^n con n=infinito $.
La prima disuguaglianza vale perchè $ (1+1/n)^n $ è crescente e quindi ha massimo a infinito, ovvero quando è e.( per la dimostrazione che è crescente c'e questo link: viewtopic.php?f=13&t=16377)
La seconda perchè $ e=2,71828(all'incirca) $, che è minore di $ 2,75 $.
La terza vale perchè$ 11/4<3-1/n;1/n<1/4;n>4 $.

patatone
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Re: Disuguaglianza tra naturali

Messaggio da patatone » 20 ott 2011, 19:39

cosi è troppo facile, il problema è chiaramente pensato per essere risolto senza ricorrere ad approssimazioni di $e$

amatrix92
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Re: Disuguaglianza tra naturali

Messaggio da amatrix92 » 20 ott 2011, 20:24

può andare bene se dimostri che LHS tende a 2,71828 ;)!
approfitto del post per assicurare che c'è (almeno) una soluzione elementare
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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