Polinomio bastardo

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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balossino
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Polinomio bastardo

Messaggio da balossino » 07 ott 2011, 15:38

Sia $ p(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{2n})+(-1)^n(n!)^2 $, dove $ a_1,a_2...a_{2n} $ sono interi distinti. Dimostrare che, se R è una radice intera di $p(x)$, $ R=(a_1+a_2+...+a_{2n})/2n $

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balossino
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Re: Polinomio bastardo

Messaggio da balossino » 11 ott 2011, 14:30

Oooook, direi che è arrivato il momento del primo hint...
Testo nascosto:
ragionate in termini di valore assoluto

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balossino
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Re: Polinomio bastardo

Messaggio da balossino » 13 ott 2011, 16:39

Oooook, direi che è arrivato il momento del secondo hint...
Testo nascosto:
Le somme ci dicono poco... possiamo fare in modo di considerare solo i prodotti?

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balossino
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Re: Polinomio bastardo

Messaggio da balossino » 15 ott 2011, 16:53

Oooook, direi che è arrivato il momento del terzo hint...
Testo nascosto:
Possiamo dire qualcosa sul numero di fattori di $ (-1)^n(n!)^2 $?

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Drago96
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Re: Polinomio bastardo

Messaggio da Drago96 » 15 ott 2011, 17:28

balossino ha scritto:Sia $ p(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{2n})+(-1)^n(n!)^2 $, dove $ a_1,a_2...a_{2n} $ sono interi distinti. Dimostrare che, se R è una radice intera di $p(x)$, $ R=(a_1+a_2+...+a_{2n})/2n $
Ovviamente $P(R)=0$ dunque $(R-a_1)(R-a_2)...(R-a_{2n})=(-1)^{n+1}(n!)^2$
Ora, come dici tu, ragioniamo come valore assoluto e dobbiamo avere $|(R-a_1)(R-a_2)...(R-a_{2n})|=n!^2$
A destra abbiamo 2 fattori 1, due fattori 2, due fattori 3, due fattori 4... eccetera...
In totale $2n$ fattori (compresi gli 1)
E guarda caso anche gli $a_i$ sono $2n$ ! E sono distinti...
Cosa vuol dire? Che esistono $a_i$ e $a_j$ tali che, per esempio $R-a_i=2$ e $R-a_j=-2$ e in generale, che per ogni $a_i$ si ha $|R-a_i|=|R-a_j|$
Il che significa $a_i+a_j=2R$
E la conclusione è immediata... :D

Spero che la dimostrazione vada bene, anche se mi rendo conto che non è proprio formale...
Chiedo suggerimenti per migliorarla... :roll:
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Re: Polinomio bastardo

Messaggio da balossino » 15 ott 2011, 19:58

Drago96 ha scritto:A destra abbiamo 2 fattori 1, due fattori 2, due fattori 3, due fattori 4... eccetera...
In totale $2n$ fattori (compresi gli 1)
E guarda caso anche gli $a_i$ sono $2n$ ! E sono distinti...
Cosa vuol dire? Che esistono $a_i$ e $a_j$ tali che, per esempio $R-a_i=2$ e $R-a_j=-2$ e in generale, che per ogni $a_i$ si ha $|R-a_i|=|R-a_j|$
Dovresti dimostrare che gli $R-a_k$ assumono necessariamente quei valori. Perché un modo di vedere il fattore a destra è quello che dici tu ed è legittimo, ma al posto delle due cifre 12, ad esempio, potremmo vedere una cifra 6 e una cifra 24...

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Re: Polinomio bastardo

Messaggio da Drago96 » 16 ott 2011, 12:09

Suppongo per assurdo che ci sia un k tale che $|R-a_k|>n$ .
Ora, abbiamo tre casi:
$|R-a_k|$ è primo, ma siccome è maggiore di $n$ non compare in $n!^2$ , dunque non ci può essere l'uguaglianza.
In $|R-a_k|$ c'è un fattore primo maggiore di $n$ ; stesso discorso di prima.
$|R-a_k|$ può essere scomposto in due fattori minori di n; ma in questo modo a sinistra ci sono $2n+1$ fattori, mentre a destra solo $2n$

Forse così va meglio... :roll:

Ah, una piccola formalizzazione sull'ultimo passaggio $|R-a_i|=|R-a_j|$
i) $R-a_i, R-a_j\geq 0$ si ottiene $a_i=a_j$ che è contro l'ipotesi.
ii) uno è maggiore di 0, l'altro minore $R-a_i=a_j-R\rightarrow 2R=a_i+a_j$ .
iii) entrambi minori di 0, $a_i-R=a_j-R\rightarrow a_i=a_j$ di nuovo contro l'ipotesi.

P.S: Da dove arriva?
Ultima modifica di Drago96 il 16 ott 2011, 13:52, modificato 1 volta in totale.
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Re: Polinomio bastardo

Messaggio da balossino » 16 ott 2011, 13:45

Allora...
Drago96 ha scritto:$|R-a_k|$ è primo, ma siccome è maggiore di $n$ non compare in $n!^2$ , dunque non ci può essere l'uguaglianza.
In $|R-a_k|$ c'è un fattore primo maggiore di $n$ ; stesso discorso di prima.
$|R-a_k|$ può essere scomposto in due fattori minori di n; ma in questo modo a sinistra ci sono $2n+1$ fattori, mentre a destra solo $2n$
Bene i primi due punti, ma il terzo non mi convince molto... Di fatto per n>3 tu hai fattori composti sia a destra che a sinistra, perciò non puoi dichiarare di essere giunto a una contraddizione basandoti semplicemente sul loro numero. Mi spiego: se n=4 il membro di destra non necessariamente si scrive come 1*2*3*4*1*2*3*4, ma può essere scritto come 1*2*3*2*2*1*2*3*2*2, questo senza contare che stiamo considerando l'uno come fattore significativo all'interno della moltiplicazione e in tal caso potremmo anche metterne infiniti senza variare il risultato.
Drago96 ha scritto:Ah, una piccola formalizzazione sull'ultimo passaggio $|R-a_i|=|R-a_j|$
i) $R-a_i, R-a_j>0$ si ottiene $a_i=a_j$ che è contro l'ipotesi.
ii) uno è maggiore di 0, l'altro minore $R-a_i=a_j-R\rightarrow 2R=a_i+a_j$ .
iii) entrambi minori di 0, $a_i-R=a_j-R\rightarrow a_i=a_j$ di nuovo contro l'ipotesi.
La dimostrazione è giusta, attento però a definirla formalizzazione. Di fatto stai lasciando al lettore il compito di prendere il caso
$|R-a_i|=|R-a_j|=0$ e verificare che non è ammissibile. Comunque basta che sostituisci un segno di "maggiore o uguale" a "maggiore" nel primo punto, così facendo anche il correttore più pignolo non potrebbe trovare nulla da obiettare :wink:
Drago96 ha scritto:P.S: Da dove arriva?
Non so, me l'ha mandato un mio amico che fa matematica a Pisa. Appena può glielo chiedo.

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