Polinomio bastardo
Polinomio bastardo
Sia $ p(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{2n})+(-1)^n(n!)^2 $, dove $ a_1,a_2...a_{2n} $ sono interi distinti. Dimostrare che, se R è una radice intera di $p(x)$, $ R=(a_1+a_2+...+a_{2n})/2n $
Re: Polinomio bastardo
Oooook, direi che è arrivato il momento del primo hint...
Testo nascosto:
Re: Polinomio bastardo
Oooook, direi che è arrivato il momento del secondo hint...
Testo nascosto:
Re: Polinomio bastardo
Oooook, direi che è arrivato il momento del terzo hint...
Testo nascosto:
Re: Polinomio bastardo
Ovviamente $P(R)=0$ dunque $(R-a_1)(R-a_2)...(R-a_{2n})=(-1)^{n+1}(n!)^2$balossino ha scritto:Sia $ p(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{2n})+(-1)^n(n!)^2 $, dove $ a_1,a_2...a_{2n} $ sono interi distinti. Dimostrare che, se R è una radice intera di $p(x)$, $ R=(a_1+a_2+...+a_{2n})/2n $
Ora, come dici tu, ragioniamo come valore assoluto e dobbiamo avere $|(R-a_1)(R-a_2)...(R-a_{2n})|=n!^2$
A destra abbiamo 2 fattori 1, due fattori 2, due fattori 3, due fattori 4... eccetera...
In totale $2n$ fattori (compresi gli 1)
E guarda caso anche gli $a_i$ sono $2n$ ! E sono distinti...
Cosa vuol dire? Che esistono $a_i$ e $a_j$ tali che, per esempio $R-a_i=2$ e $R-a_j=-2$ e in generale, che per ogni $a_i$ si ha $|R-a_i|=|R-a_j|$
Il che significa $a_i+a_j=2R$
E la conclusione è immediata...
Spero che la dimostrazione vada bene, anche se mi rendo conto che non è proprio formale...
Chiedo suggerimenti per migliorarla...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Polinomio bastardo
Dovresti dimostrare che gli $R-a_k$ assumono necessariamente quei valori. Perché un modo di vedere il fattore a destra è quello che dici tu ed è legittimo, ma al posto delle due cifre 12, ad esempio, potremmo vedere una cifra 6 e una cifra 24...Drago96 ha scritto:A destra abbiamo 2 fattori 1, due fattori 2, due fattori 3, due fattori 4... eccetera...
In totale $2n$ fattori (compresi gli 1)
E guarda caso anche gli $a_i$ sono $2n$ ! E sono distinti...
Cosa vuol dire? Che esistono $a_i$ e $a_j$ tali che, per esempio $R-a_i=2$ e $R-a_j=-2$ e in generale, che per ogni $a_i$ si ha $|R-a_i|=|R-a_j|$
Re: Polinomio bastardo
Suppongo per assurdo che ci sia un k tale che $|R-a_k|>n$ .
Ora, abbiamo tre casi:
$|R-a_k|$ è primo, ma siccome è maggiore di $n$ non compare in $n!^2$ , dunque non ci può essere l'uguaglianza.
In $|R-a_k|$ c'è un fattore primo maggiore di $n$ ; stesso discorso di prima.
$|R-a_k|$ può essere scomposto in due fattori minori di n; ma in questo modo a sinistra ci sono $2n+1$ fattori, mentre a destra solo $2n$
Forse così va meglio...
Ah, una piccola formalizzazione sull'ultimo passaggio $|R-a_i|=|R-a_j|$
i) $R-a_i, R-a_j\geq 0$ si ottiene $a_i=a_j$ che è contro l'ipotesi.
ii) uno è maggiore di 0, l'altro minore $R-a_i=a_j-R\rightarrow 2R=a_i+a_j$ .
iii) entrambi minori di 0, $a_i-R=a_j-R\rightarrow a_i=a_j$ di nuovo contro l'ipotesi.
P.S: Da dove arriva?
Ora, abbiamo tre casi:
$|R-a_k|$ è primo, ma siccome è maggiore di $n$ non compare in $n!^2$ , dunque non ci può essere l'uguaglianza.
In $|R-a_k|$ c'è un fattore primo maggiore di $n$ ; stesso discorso di prima.
$|R-a_k|$ può essere scomposto in due fattori minori di n; ma in questo modo a sinistra ci sono $2n+1$ fattori, mentre a destra solo $2n$
Forse così va meglio...
Ah, una piccola formalizzazione sull'ultimo passaggio $|R-a_i|=|R-a_j|$
i) $R-a_i, R-a_j\geq 0$ si ottiene $a_i=a_j$ che è contro l'ipotesi.
ii) uno è maggiore di 0, l'altro minore $R-a_i=a_j-R\rightarrow 2R=a_i+a_j$ .
iii) entrambi minori di 0, $a_i-R=a_j-R\rightarrow a_i=a_j$ di nuovo contro l'ipotesi.
P.S: Da dove arriva?
Ultima modifica di Drago96 il 16 ott 2011, 13:52, modificato 1 volta in totale.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Polinomio bastardo
Allora...
$|R-a_i|=|R-a_j|=0$ e verificare che non è ammissibile. Comunque basta che sostituisci un segno di "maggiore o uguale" a "maggiore" nel primo punto, così facendo anche il correttore più pignolo non potrebbe trovare nulla da obiettare
Bene i primi due punti, ma il terzo non mi convince molto... Di fatto per n>3 tu hai fattori composti sia a destra che a sinistra, perciò non puoi dichiarare di essere giunto a una contraddizione basandoti semplicemente sul loro numero. Mi spiego: se n=4 il membro di destra non necessariamente si scrive come 1*2*3*4*1*2*3*4, ma può essere scritto come 1*2*3*2*2*1*2*3*2*2, questo senza contare che stiamo considerando l'uno come fattore significativo all'interno della moltiplicazione e in tal caso potremmo anche metterne infiniti senza variare il risultato.Drago96 ha scritto:$|R-a_k|$ è primo, ma siccome è maggiore di $n$ non compare in $n!^2$ , dunque non ci può essere l'uguaglianza.
In $|R-a_k|$ c'è un fattore primo maggiore di $n$ ; stesso discorso di prima.
$|R-a_k|$ può essere scomposto in due fattori minori di n; ma in questo modo a sinistra ci sono $2n+1$ fattori, mentre a destra solo $2n$
La dimostrazione è giusta, attento però a definirla formalizzazione. Di fatto stai lasciando al lettore il compito di prendere il casoDrago96 ha scritto:Ah, una piccola formalizzazione sull'ultimo passaggio $|R-a_i|=|R-a_j|$
i) $R-a_i, R-a_j>0$ si ottiene $a_i=a_j$ che è contro l'ipotesi.
ii) uno è maggiore di 0, l'altro minore $R-a_i=a_j-R\rightarrow 2R=a_i+a_j$ .
iii) entrambi minori di 0, $a_i-R=a_j-R\rightarrow a_i=a_j$ di nuovo contro l'ipotesi.
$|R-a_i|=|R-a_j|=0$ e verificare che non è ammissibile. Comunque basta che sostituisci un segno di "maggiore o uguale" a "maggiore" nel primo punto, così facendo anche il correttore più pignolo non potrebbe trovare nulla da obiettare
Non so, me l'ha mandato un mio amico che fa matematica a Pisa. Appena può glielo chiedo.Drago96 ha scritto:P.S: Da dove arriva?