Disuguaglianza famosa

[gatto_silvestro]

Dimostrare che $ (1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} $ con $ n\in\mathbb{Z}^{+} $

Vediamo quante soluzioni troviamo!

[spugna]

Ma guarda un po' che tempismo, proprio in questi giorni mi stavo cimentando nel dimostrare che quell'espressione tende a $e$!

Prima di tutto sviluppiamo le potenze dei binomi:
$ \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n=\dfrac{1}{n^n}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{n-i}=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{-i} $ e, analogamente, $ \left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i} $
Ora, se confrontiamo a due a due i termini con lo stesso indice $i$, abbiamo $\binom{n}{i}n^{-i} \le \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i}$ $\forall 0 \le i \le n$: se dimostriamo queste disuguaglianze e le sommiamo membro a membro, insieme a $0<\dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}$ che completa il $RHS$, otteniamo la tesi.
Possiamo dimostrarle per induzione: si nota facilmente che per $i<2$ si ha l'uguaglianza, mentre per il passo induttivo sviluppiamo i binomiali e semplifichiamo, ottenendo:
$n^{-i} \le \dfrac{n+1}{n+1-i}(n+1)^{-i} \Leftrightarrow 1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
Passando da $i$ a $i+1$ la disuguaglianza diventa $1-\dfrac{i}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{i+1}=\left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i-\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
che si ottiene sommando membro a membro $1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$ e $-\dfrac{1}{n+1} \le -\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
La prima è vera per ipotesi induttiva, la seconda è una conseguenza diretta del fatto che un numero compreso tra $0$ e $1$, in questo caso $\dfrac{n}{n+1}$, rimane tale se elevato a un esponente positivo ($i$)

[gatto_silvestro]

Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.

[spugna]

l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli

Hai ragione: il problema è che non riesco mai a memorizzarla...

[ant.py]

Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.

scusami, non ho capito bene.. potresti spiegare più in dettaglio?

[amatrix92]

Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.

scusami, non ho capito bene.. potresti spiegare più in dettaglio?

$ a_1 = a_2 = ... = a_n= 1+ \frac{1}{n} $
$ a_{n+1} = 1 $

a questo punto basta che scrivi AM-Gm con questi termini ( sono n+1) e il risultato viene da se con un paio di conti immediati...

[ant.py]

ah, ho capito, che scemo

grazie mille

[spugna]

Qualcuno potrebbe anche dimostrare che $\left( 1+ \dfrac{1}{n} \right)^{n+1}>\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+2}$ (io non ne sono stato capace )

[patatone]

2 modi:
1) AM-GM
$\displaystyle (1+\frac 1 {n+1})^n(1+\frac 1 {n+1})^2<(\frac{n(1+\frac 1 {n+1})+(1+\frac 1 {n+1})^2}{n+1})^{n+1}=$
$\displaystyle =(1+\frac 1 {n+1}+\frac 1 {(n+1)^2}+\frac 1 {(n+1)^3})^{n+1}<(1+\frac 1 n)^{n+1}$

2) derivando
la derivata della funzione $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}$ è $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}\frac{\ln (1+\frac 1 x)^x-1}{x}<0$ perchè $\ln (1+\frac 1 x)^x<\ln e<1$ quindi la funzione è decrescente