Disuguaglianza famosa

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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gatto_silvestro
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Disuguaglianza famosa

Messaggio da gatto_silvestro » 03 ott 2011, 19:21

Dimostrare che $ (1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} $ con $ n\in\mathbb{Z}^{+} $

Vediamo quante soluzioni troviamo!

spugna
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da spugna » 05 ott 2011, 18:24

Ma guarda un po' che tempismo, proprio in questi giorni mi stavo cimentando nel dimostrare che quell'espressione tende a $e$! :lol:

Prima di tutto sviluppiamo le potenze dei binomi:
$ \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n=\dfrac{1}{n^n}\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{n-i}=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}n^{-i} $ e, analogamente, $ \left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i} $
Ora, se confrontiamo a due a due i termini con lo stesso indice $i$, abbiamo $\binom{n}{i}n^{-i} \le \binom{n+1}{i}(n+1)^{-i}$ $\forall 0 \le i \le n$: se dimostriamo queste disuguaglianze e le sommiamo membro a membro, insieme a $0<\dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}$ che completa il $RHS$, otteniamo la tesi.
Possiamo dimostrarle per induzione: si nota facilmente che per $i<2$ si ha l'uguaglianza, mentre per il passo induttivo sviluppiamo i binomiali e semplifichiamo, ottenendo:
$n^{-i} \le \dfrac{n+1}{n+1-i}(n+1)^{-i} \Leftrightarrow 1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
Passando da $i$ a $i+1$ la disuguaglianza diventa $1-\dfrac{i}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{i+1}=\left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i-\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
che si ottiene sommando membro a membro $1-\dfrac{i}{n+1} \le \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$ e $-\dfrac{1}{n+1} \le -\dfrac{1}{n+1} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^i$
La prima è vera per ipotesi induttiva, la seconda è una conseguenza diretta del fatto che un numero compreso tra $0$ e $1$, in questo caso $\dfrac{n}{n+1}$, rimane tale se elevato a un esponente positivo ($i$)
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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gatto_silvestro
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da gatto_silvestro » 05 ott 2011, 20:03

Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.

spugna
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da spugna » 06 ott 2011, 18:37

gatto_silvestro ha scritto:l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli
Hai ragione: il problema è che non riesco mai a memorizzarla... :oops:
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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ant.py
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da ant.py » 17 ott 2011, 21:36

gatto_silvestro ha scritto:Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.
scusami, non ho capito bene.. potresti spiegare più in dettaglio? :)
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da amatrix92 » 17 ott 2011, 22:49

ant.py ha scritto:
gatto_silvestro ha scritto:Bene (l'ultima disuguaglianza è vera per Bernoulli). La mia sol è invece: prendo $ a_i=1+\frac{1}{n} $ per $ 1\leq i \leq n $ e $ a_{n+1}=1 $ e faccio AM-GM.
scusami, non ho capito bene.. potresti spiegare più in dettaglio? :)
$ a_1 = a_2 = ... = a_n= 1+ \frac{1}{n} $
$ a_{n+1} = 1 $

a questo punto basta che scrivi AM-Gm con questi termini ( sono n+1) e il risultato viene da se con un paio di conti immediati...
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

ant.py
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da ant.py » 18 ott 2011, 15:09

ah, ho capito, che scemo :D

grazie mille :)
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spugna
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da spugna » 19 ott 2011, 15:07

Qualcuno potrebbe anche dimostrare che $\left( 1+ \dfrac{1}{n} \right)^{n+1}>\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+2}$ (io non ne sono stato capace :oops: )
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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patatone
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Re: Disuguaglianza famosa

Messaggio da patatone » 19 ott 2011, 22:35

2 modi:
1) AM-GM
$\displaystyle (1+\frac 1 {n+1})^n(1+\frac 1 {n+1})^2<(\frac{n(1+\frac 1 {n+1})+(1+\frac 1 {n+1})^2}{n+1})^{n+1}=$
$\displaystyle =(1+\frac 1 {n+1}+\frac 1 {(n+1)^2}+\frac 1 {(n+1)^3})^{n+1}<(1+\frac 1 n)^{n+1}$

2) derivando
la derivata della funzione $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}$ è $\displaystyle (1+\frac 1 x)^{x+1}\frac{\ln (1+\frac 1 x)^x-1}{x}<0$ perchè $\ln (1+\frac 1 x)^x<\ln e<1$ quindi la funzione è decrescente

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