Due disuguaglianze abbastanza famose

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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ale.G
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Due disuguaglianze abbastanza famose

Messaggio da ale.G » 02 ott 2011, 08:15

1)Siano $x,y,z$ numeri reali positivi tali che $\displaystyle\frac{4}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=1$.
Determinare il minimo valore che può assumere l'espressione $x+8y+4z$.


2)Siano $x,y,z$ due reali positivi tali che $xy^2z^3=1$. Determinare il minimo valore che può assumere $x^2+y^3+z$.
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

Mist
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Re: Due disuguaglianze abbastanza famose

Messaggio da Mist » 02 ott 2011, 15:19

essendo ancora un brocco completo con le disuguaglianze, ci provo...

$$\displaystyle x+8y+4z= \left( \frac{4}{x}+\frac{2}{y} +\frac{1}{z}\right) \cdot (x+8y+4z) = 4+32\frac{y}{x}+16\frac{z}{x}+2\frac{x}{y}+16+8\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+8\frac{y}{z}+4=$$
$$=24+32\frac{y}{x}+2\frac{x}{y}+16\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+8\frac{z}{y}+8\frac{y}{z}\geq 24+16+8+16 = 64$$

Dove la disuguaglianza è data da AM-GM

E credo che la seconda si faccia in modo simile, sempre che la prima sia giusta XD al massimo ci penso dopo...
Ultima modifica di Mist il 02 ott 2011, 21:16, modificato 1 volta in totale.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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ale.G
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Re: Due disuguaglianze abbastanza famose

Messaggio da ale.G » 02 ott 2011, 16:59

Se devo essere sincero non ho capito il passaggio AM-GM, ma in ogni caso nell'ultima uguaglianza il primo termine non dovrebbe essere 24?
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

NoAnni
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Re: Due disuguaglianze abbastanza famose

Messaggio da NoAnni » 02 ott 2011, 17:59

Risolvo l'1 usando Cauchy-Schwarz:
Applico Cauchy-Schwarz alle terne:
$ \left( \sqrt{\frac{4}{x}};\sqrt{\frac{2}{y}};\sqrt{\frac{1}{z}} \right) $ e $ \left( \sqrt{x};\sqrt{8y};\sqrt{4z} \right) $
Si ha: $ \left( {\frac{4}{x}}+{\frac{2}{y}}+{\frac{1}{z}} \right)\cdot \left({x}+{8y}+{4z} \right)\geq ( \sqrt{4}+ \sqrt{16}+ \sqrt{4})^2 $.
Quindi, dato che $ \left( {\frac{4}{x}}+{\frac{2}{y}}+{\frac{1}{z}} \right)=1 $ si ha che $ \left({x}+{8y}+{4z} \right)\geq 64 $
"Problem solving can be learned only by solving problems"

Mist
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Re: Due disuguaglianze abbastanza famose

Messaggio da Mist » 02 ott 2011, 21:15

$$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$32\frac{y}{x}+2\frac{x}{y} \geq 16$$

e hai ragione sul $24$ :? edito subito
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paga92aren
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Re: Due disuguaglianze abbastanza famose

Messaggio da paga92aren » 05 ott 2011, 17:41

Il secondo problema mi viene $\frac{25}{6}\sqrt[25]{2\cdot 3^{-14}}$ ho sbagliato?

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