SNS 2002-2003 N.2

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mike
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SNS 2002-2003 N.2

Messaggio da Mike » 07 set 2011, 21:07

Ho cercato nella lista, ma non c'era.

Determinare quanti sono i numeri reali $ x $ tali che $ 0 \leq x \leq \pi $ e

$ \log_4 {|\sin 4x|} + |\log_2{\sqrt{|\cos x|}} | = 0 $

stergiosss
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Re: SNS 2002-2003 N.2

Messaggio da stergiosss » 07 set 2011, 22:24

Perché i logaritmi abbiano senso impongo:
[tex]\displaystyle \cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]\displaystyle \sin 4x \neq 0 \Rightarrow x \notin \{0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3}{4}\pi, \pi \}[/tex]

Ora
[tex]\displaystyle \cos x \in [-1, 1] \Rightarrow |\cos x| \in [0, 1] \Rightarrow \sqrt{|\cos x|} \in [0, 1] \Rightarrow \log_2{\sqrt{|\cos x|}} \leq 0 \Rightarrow |\log_2{\sqrt{|\cos x|}}| = - \log_2{\sqrt{|\cos x|}}[/tex]
Quindi l'equazione diventa [tex]\displaystyle \log_4 {|\sin 4x|} = \log_2{\sqrt{|\cos x|}} \Rightarrow \frac{\log_2 {|\sin 4x|}}{\log_2 4} = \log_2{\sqrt{|\cos x|}} \Rightarrow \frac{\log_2 {|\sin 4x|}}{2} = \log_2{\sqrt{|\cos x|}} \Rightarrow \log_2 {|\sin 4x|} = 2 \log_2{\sqrt{|\cos x|}} \Rightarrow[/tex]
[tex]\displaystyle \log_2 {|\sin 4x|} = \log_2{|\cos x|} \Rightarrow |\sin 4x| = |\cos x| \Rightarrow |2 \sin 2x \cos 2x| = |\cos x| \Rightarrow |4 \sin x \cos x \cos 2x| = |\cos x| \Rightarrow [/tex]
[tex]\displaystyle |4 \sin x \cos 2x| |\cos x| = |\cos x| \Rightarrow [/tex] (posso semplificare perché avevo imposto [tex]\displaystyle \cos x \neq 0 [/tex] )
[tex]\displaystyle |4 \sin x \cos 2x| = 1 \Rightarrow 4 |\sin x| |1 - 2 \sin^2 {x}| = 1[/tex]

Pongo [tex]t = \sin x[/tex] (e noto che è sempre [tex]t \gt 0[/tex]), e divido due casi:
1) [tex]\displaystyle 1 - 2 t^2 \geq 0 \Rightarrow t \leq \frac{1}{\sqrt 2}[/tex]
Allora l'equazione diventa [tex]\displaystyle 4t(1 - 2 t^2) = 1 \Rightarrow 8 t^3 - 4 t + 1 = 0 \Rightarrow (2 t - 1) (4 t^2 + 2 t - 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \vee 4 t^2 + 2 t - 1 = 0[/tex]
[tex]\displaystyle \Rightarrow t = \frac{1}{2} \vee t = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}[/tex] (l'altra soluzione dell'equazione di secondo grado è negativa)
2) [tex]\displaystyle 1 - 2 t^2 \lt 0 \Rightarrow t \geq \frac{1}{\sqrt 2}[/tex]
Allora l'equazione diventa [tex]\displaystyle 4t(2 t^2 - 1) = 1 \Rightarrow 8 t^3 - 4 t - 1 = 0 \Rightarrow (2 t + 1) (4 t^2 - 2 t - 1) = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{2} [/tex] (non accettabile) [tex] \vee 4 t^2 - 2 t - 1 = 0[/tex]
[tex]\displaystyle \Rightarrow t = \frac{\sqrt 5 + 1}{4}[/tex] (l'altra soluzione dell'equazione di secondo grado è negativa)

Le soluzioni quindi sono: [tex]\displaystyle \Rightarrow t = \frac{1}{2} \vee t = \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \vee t = \frac{\sqrt 5 + 1}{4}[/tex]
Quindi [tex]\displaystyle x \in \{ \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \arcsin{\frac{\sqrt 5 - 1}{4}}, \pi - \arcsin{\frac{\sqrt 5 - 1}{4}}, \arcsin{\frac{\sqrt 5 + 1}{4}}, \pi - \arcsin{\frac{\sqrt 5 + 1}{4}} \}[/tex]

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